초·중·고 학생들을 위한
유클리드 원론
초·중·고 학생들을 위한
전설에 의하면 위 구절은 플라톤이 세운 아카데미 입구 현판에 기록되었다고 한다. 이 전설은 엘리아스(Elias)처럼 아리스토텔레스의 몇몇 해설가들에 의해 전해졌는데, «ommentary on the Categories, XVIII, 118, 18-19»에 “플라톤 아카데미에서, 뮤즈 신전이 쓰여지기 전에: 기하학을 모르는 자는 이 문으로 들어오지 말아라.(In Plato's Academy, before the temple of the Muses was written: Let None But Geometers Enter Here)"와 같이 기록되어 있다. 그리고 존 필로포누스(John Philoponus)의 «Commentary on the soul, XV, 117.27»에서는 위의 단순한 버전으로 “기하학을 모르는 자는 이 문으로 들어오지 말아라.(Let None But Geometers Enter Here)”와 같이 수록되어 있다.
«Diogenes Laertius in IV»에는 플라톤의 가르침에서 기하학의 중요성을 보여 주는 다음과 같은 일화가 있다. 제노크라테스(Xenocrates)는 음악이나 기하학이나 천문학을 알지 못한 채 그와 함께 공부하고 싶어했으나, 플라톤은 “당신은 철학의 손아귀 안에 없기 때문에 가거라.”라고 말하였다. 이 당시, 기하학은 수학이나 다름 없었으니 수학을 모르면 이곳에 들어 올 자격이 없다는 것으로 수학이 얼마나 중요한 과목 중 하나였음을 볼 수 있는 대목이다.
그리고 «원론»과 연관된 유클리드 일화가 있다.
알렉산드로스 대왕(Alexander the Great)이 죽은 후 이집트의 첫 번째 왕인 프톨레마이오스 소테르 1세(Ptolemy 1st Soter)는 개인적으로 유클리드를 후원하였다. 그러나 유클리드의 중요한 저서인 «원론»를 공부하기가 너무 어렵워 유클리드에게 이 책을 통달할 수 있는 더 쉬운 방법을 알려달라고 하였다. 철학자 프로클루스(Proklos)에 의하면, 유클리드는 "폐하, 기하학에는 왕도가 없습니다.(Sire, there is no royal road to geometry.)"라고 유명한 농담을 했다고 한다. 주목할 점은 유클리드가 길을 의미하는 “odos(=road)”라는 단어를 사용하지 않고 지름길을 의미하는 “atrapos(=trail)”이라는 단어를 사용했다는 것이다.
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지금 이곳에 들어와 있는 여러분은 기하학을 알고 싶어한다. 여러분은 이미 기하학의 세계에 들어와 있다. 이제 유클리드 «원론»을 함께 연구하고 논의 하자.
유클리드 «원론» 원본 그대로 연구 및 학습하는 것은 매우 고통이 따른다. 일차적으로 용어 문제가 매우 크며, 대수적 표현으로는 간단히 나타낼 수 있는데 이를 그 당시의 사고로 생각을 한다는 것은 그리 쉬운 일은 아니다. 그래서 이곳에서는 중·고등학생들도 유클리드 «원론»을 직접 학습할 수 있도록 용어를 되도록 현 교육과정에 맞추어서 변환하였다. 그리고 유클리드 «원론» 명제의 영어 원본을 이무현 저 «기하학 원론»을 참고하여 재해석하여 옮겨 놓았으며 수식으로 표현한 명제를 아래에 같이 서술하였다. 정의와 명제를 현대적 의미로 바꾸었으며 증명 자체도 수식으로 표현하여 가독성을 높였다. 그러나 유클리드 «원론» 증명 논리과정을 그대로 따라가려고 노력하였다. 증명도 중간에 뛰어 넘은 부분도 있어 증명의 삐진 부분을 채워 넣기도 하였다.
여기에 있는 유클리드 «원론»은 원본 그대로가 아니라는 점을 다시 한번 기억하자!
I권은 정의 23개, 공리 5개, 일반 상식 5개, 명제 48개가 수록되어 있으며 '직선, 각, 삼각형'에 대한 내용으로 구성되어 있다. 필수적이고 예비적인 정의와 설명 및 공준과 공리로 시작한다. I 권의 정리 중에는 합동, 평행선, 직선으로 이루어진 도형 등에 관한 친숙한 정리들이 포함되어 있다. 특히 명제 47과 명제 48은 피타고라스 정리와 그 역에 대한 것이다.
II권은 정의 2개, 명제 14개가 수록되어 있으며 '도형의 넓이'에 대한 내용으로 구성되어 있다. 겨우 14개의 정리만을 포함하고 있는 작은 책인데 여기에서는 주로 피타고라스 학파의 기하 대수학을 다루고 있다. 이 책의 명제 12와 명제 13은 근본적으로 오늘날 코사인 법칙으로 알려진 피타고라스 정리의 일반화이다.
III권은 정의 11개, 명제 37개가 수록되어 있으며 '원'에 대한 내용으로 구성되어 있다. 따름 명제 2개를 포함하여 39개의 명제로 이루어져 있고, 원, 현, 할선, 접선, 연관된 각도의 측정 등에 관한 명제들을 포함하고 있다.
IV권은 정의 7개, 명제 16개가 수록되어 있으며 '다각형과 원'에 대한 내용으로 구성되어 있다. 자와 컴퍼스를 이용한 작도, 주어진 원에 내접하는 다각형 작도와 외접하는 다각형 작도, 정다각형 작도를 포함하고 있다.
V권은 정의 18개, 명제 25개가 수록되어 있다. 비율 이론에 대한 대가 다운 설명을 하였다. 이 책은 수학적인 문헌 중에서 가장 훌륭한 걸작 중의 하나로 간주된다.
VI권은 정의 4개, 명제 44개가 수록되어 있다. 이전 명제들을 닮음 도형의 연구에 응용하고 있다.
VII권은 정의 22개, 명제 39개가 수록되어 있다. 두 개 이상의 정수에 대한 최대공약수를 구하는 방법(유클리드 호제법)으로 시작한다. 또한 초기 피타고라스 학파의 비율 이론에 대한 명제들을 발견할 수 있다.
VIII권은 명제 27개가 수록되어 있다. 주로 연비례와 그것과 관련된 등비수열을 다루고 있다.
IX권은 명제 36개가 수록되어 있다. 수론에서 중요한 많은 명제들이 있는데 먼저 명제 14는 중요한 ‘산술의 기본 정리(Fundamental theorem of arithmetic)’즉 “1 보다 큰 임의의 정수는 반드시 소수들의 곱으로 표현될 수 있으며 근본적으로 단 한가지 방법으로 표현된다.”는 명제와 동치이다. 정리 20에서 ‘소수의 개수는 무한하다.’는 명제에 대한 매우 세련된 증명을 찾아볼 수 있다. 명제 35는 등비수열의 첫 n개의 항의 합에 대한 공식을 기하학적으로 유도 했다. 그리고 이 책의 마지막 명제인 명제 36은 짝수인 완전수를 만드는 놀라운 공식을 증명하고 있다.
X권은 정의 16개, 명제 115개가 수록되어 있다. 무리수들, 즉 어떤 주어진 선분의 길이를 단위로 재어 비율로 나타낼 수 없는 길이를 다루고 있다.
XI권은 정의 28개, 명제 39개가 수록되어 있다. 선과 면, 면과 면, 평행육면체, 정육면체, 각기둥들에 대한 내용을 담고 있다.
XII권은 명제 18개가 수록되어 있다. 원의 넓이와 각뿔, 각기둥, 원뿔, 원기둥, 구의 부피(단, 원주율은 쓰지 않음.)등의 내용을 담고 있다. 원의 넓이는 지름의 제곱에 비례하고 구의 부피는 지름의 세제곱에 비례함을 이용하였다.
XIII권은 명제 18개가 수록되어 있다. 정사면체, 정육면체, 정팔면체, 정십이면체, 정이십면체의 다섯 종류만이 정다면체임을 증명하였다.
[1] David E. Joyce, https://mathcs.clarku.edu/~djoyce/java/elements/elements.html
[2] 이무현 역, 유클리드 저, «기하학 원론 가, 나, 다, 라», 2003, 교우사.
[3] Heath, «Thirteen Books of Euclid's Elements Vol 1, 2, 3», 1968, CAMBRIDGE.
[4] ROBERT MAYNARD HUTCHINS, «GREAT BOOKS OF THE WESTERN WORLD-Euclid_ Archimedes_ Apollonius of Perga_ Nicomachus of Gerasa - Euclid's Elements, works of Archimedes, On Conic Sections by Apollonius of Perga and Introductio-», 1952, William Benton.
[5] OLIVER BYRNE, «THE FIRST SIX BOOKS OF THE ELEMENTS OF EUCLID», 1847, LONDON WILLIAM PICKERING.
[6] JOHN CASEY, LL.D., F.R.S., «THE FIRST SIX BOOKS OF THE ELEMENTS OF EUCLID», 1885, DUBLIN: HODGES, FIGGIS, & CO., GRAFTON-ST. LONDON: LONGMANS, GREEN, & CO.
[7] Maureen T. Carroll and Elyn Rykken, «Geometry:The Line and the Circle», 2018, MAA PRESS, Vol 44.
◼ 황운구 ◼
⨳ 수학교육학 박사
⨳ 현 대전동신과학고등학교 교사 / 현 공주대학교 수학교육과 겸임교수
⨳ 이메일 : michol92@gmail.com
⨳ 블로그 : https://blog.naver.com/mathmuse
오타 및 오류가 있으면 그 내용을 이메일로 보내 주시면 검토 후 수정 및 업로드 하겠습니다.
유클리드 «원론» 작업은 처음 2015년 2월 부터 저를 비롯하여 김*림, 유*수, 김*진, 류*우, 이*범, 권*율, 이*영, 최*린, 주*은, 양*현, 최*식 선생님들과 함께 연구를 시작하였습니다. [I권]부터 [IV권]까지 1차 연구, [XI권]부터 [XIII권]까지 2차 연구에서 한글과 지오지브라 애플릿 개발을 마무리를 하였으나 이후 연구의 어려움이 있어 연구가 중단되었습니다. 그 후 개인적으로 연구를 계속하여 유클리드 «원론»을 처음 부터 지오지브라 애플릿과 HTML 5로 웹 서비스를 시작하였습니다. 그러나 위 선생님들의 노고가 없었더라면 지금에 이르기가 어려웠을 것입니다. 위 선생님들께 고마운 마음과 감사의 말을 전합니다. 또한 위 선생님들께 연구를 함께 마무리를 짖지 못하여 죄송스런 마음을 전합니다.
중단 이후 저 혼자 다시 연구를 하였는데 용어와 증명 과정에 대한 어려움으로 두 번이나 연구를 멈추었습니다. 다시 마음을 다 잡고 2019년에 세 번째 도전을 하였고 지금까지 연구로 웹 서비스를 하고 있습니다.
연구 중에도 [I권]부터 html 5의 켄버스(canvas)와 자바스크립트(Javascript)로 애니메이션을 구현한 시각화 증명을 추가적으로 개발하고 있습니다. 또한 부연설명에 대수적 증명, 다양한 질문둘 그리고 다른 기하학적 증명 등의 부가적인 내용도 추가하고 있으며 정의, 명제, 증명의 검증 및 오류 수정도 함께 하고 있습니다. 나아가 영상 작업도 기획하고 있습니다. 그러나 이러한 수정과 영상 작업은 일단 «원론» 작업을 마무리를 지어야 해서 언제 시작이나 할지 기약이 없습니다.
앞으로의 계획은 유클리드 «원론»을 다시 점검 및 수정 그리고 내용을 추가하는 것입니다. 그리고 아폴로니우스 «이차곡선», 아르키메데스 «구와 원기둥»에 대하여 이와 같이 웹 서비스를 하려고 합니다.
마지막으로 이 서비스를 허락해주고 서버를 대여해주신 '(주)수학사랑'에 감사를 드립니다.
