주어진 선분을 황금비로 자르면, 황금비로 잘라진 선분 중 긴 선분과 선분 길이의 절반을 합친 선분으로 만든 정사각형 넓이는 주어진 선분의 절반으로 만든 정사각형 넓이의 5배이다.
주어진 선분 \(\rm AB\)를 황금비로 나눈 내분점을 점 \(\rm C\)라 하자. 선분 \(\rm AC\)가 긴 선분이라고 하자. \(\overline{\rm AD}=\frac12 \cdot \overline{\rm AB}\)이고 선분 \(\rm AD\)와 선분 \(\rm AC\)가 일직선이 되도록 하여 \(\overline{\rm CD}=\overline{\rm CA}+\overline{\rm AC}\)이라고 하자. 그러면, \({\overline{\rm CD}}^2=5\cdot{\overline{\rm AD}}^2\)이다.
주어진 선분을 한 변으로 하는 정사각형 넓이가 주어진 선분을 잘라 그 중 한 선분을 한 변으로 하는 정사각형 넓이의 5배라고 하자. 한 선분을 두 배의 길이의 선분을 황금비율로 자르고 이 때 길이가 긴 선분은 주어진 선분을 잘라 남은 한 선분 길이와 같다.
주어진 선분 \(\rm AB\)을 \({\overline{\rm AB}}^2=5\cdot{\overline{\rm AC}}^2\)가 되도록 내부 점 \(\rm C\)로 두 선분 \(\rm AC\), \(\rm CB\)로 잘랐다. \(\overline{\rm CD}=2\cdot\overline{\rm AC}\)이 되도록 선분 \(\rm CD\), \(\rm AC\)가 일직선이 되도록 점 \(\rm D\)를 잡자. 그러면 변 \(\rm CD\)를 황금비로 잘랐을 때, 잘라진 큰 선분 길이가 선분 \(\rm CB\)와 같다.
주어진 직선을 황금비로 자르자. 나누어진 두 선분 중 짧은 선분과 긴 선분을 다시 이등분한 선분을 더한 선분을 한 변으로 하는 정사각형 넓이는 황금비로 자른 두 선분 중 긴 선분의 절반의 길이를 한 변으로 하는 정사각형 넓이의 5배이다.
주어진 선분 \(\rm AB\)를 점 \(\rm C\)에 의해서 황금비로 자려졌다고 하자. 황금비로 잘려진 선분 \(\rm AC\)가 긴 선분이라고 하자. 선분 \(\rm AC\)의 중점을 \(\rm D\)라고 하자. 세 점 \(\rm B\), \(\rm C\), \(\rm D\)가 일직선 위에 있고 \(\overline{\rm BD}=\overline{\rm DC}+\overline{\rm CB}\)이면 \({\overline{\rm BD}}^2=5\cdot{\overline{\rm DC}}^2\)이다.
주어진 직선을 황금비로 자르자. 주어진 전체 직선이 한 변인 정사각형 넓이와 주어진 선분을 황금비로 자른 후 짧은 선분이 한 변인 정사각형 넓이의 합은 주어진 선분을 황금비로 자른 후 긴 선분이 한 변인 정사각형의 넓이의 세 배이다.
주어진 선분 \(\rm AB\)를 황금비로 점 \(\rm C\)에 의해서 잘려졌고, \(\overline{\rm AC}>\overline{\rm CB}\)라고 하자. 그러면 \({\overline{\rm AB}}^2+{\overline{\rm BC}}^2=3\cdot{\overline{\rm AC}}^2\)이다.
주어진 선분을 황금비로 나누자. 둘로 나누어진 선분 중 긴 선분과 길이가 같은 선분을 주어진 선분의 한 끝 점에서 붙여 일직선 되게 하게하자. 그러면 두 선분을 연결한 전체 선분은 두 선분을 연결한 점에 의해서 황금비로 나누어지고 주어진 선분이 나누어진 선분 중 긴 선분이다.
선분 \(\rm AB\)를 점 \(\rm C\)에 의해서 황금비로 나누었다고 하자. \(\overline{\rm AC}>\overline{\rm CB}\)이라고 하고, \(\overline{\rm AD}=\overline{\rm AC}\)인 선분 \(\rm DA\)를 선분 \(\rm AB\)점 \(\rm A\)에 붙여 세 점 \(\rm C\), \(\rm A\), \(\rm D\)가 일직선이 되게 하자. 그러면 선분 \(\rm DB\)는 점 \(\rm A\)에 의해서 황금비로 나누어지고, \(\overline{\rm AB}>\overline{\rm DA}\)이다.
길이가 유리수인 주어진 선분을 황금비로 자르자. 잘려진 두 선분의 길이는 모두 ‘아포토미(apotome)’라 라 하는 무리수이다.
길이가 유리수인 주어진 선분 \(\rm AB\)를 점 \(\rm C\)에 의해서 황금비로 자르자. 그리고 \(\overline{\rm AC}>\overline{\rm CB}\)이라고 하자. 그러면 두 선분 \(\rm AC\), \(\rm CB\)의 길이는 ‘아포토미(apotome)’라 하는 무리수이다.
모든 변의 길이가 같은 오각형이 있다. 이 오각형의 세 내각의 크기가 같으면 이 오각형의 모든 각의 크기는 같다.
모든 변의 길이가 같은 오각형 \(\rm ABCDE\)가 있다. 세 내각 \(\rm A\), \(\rm B\), \(\rm C\)는 \(\rm\angle A=\angle B=\angle C\)이다. 그러면 \(\rm\angle A=\angle B=\angle C=\angle D=\angle E\)로 오각형 \(\rm ABCDE\)의 모든 각의 크기가 같다.
변들의 길이가 모두 같고 모든 각의 크기가 같은 정오각형에서 연속된 두 대각선은 서로를 황금비로 자른다. 이때 잘려진 긴 선분은 정오각형의 한 변의 길이와 같다.
변들의 길이가 모두 같고 모든 각들의 크기가 같은 정오각형 \(\rm ABCDE\)에 대하여, 두 대각선 \(\rm AC\), \(\rm BE\)를 그리자. 이 두 대각선의 교점을 \(\rm H\)라 하자. 그러면 점 \(\rm H\)는 두 대각선 \(\rm BE\), \(\rm AC\)를 황금비로 자르고, 각 큰 선분인 \(\rm HC\), \(\rm HE\)가 정오각형의 한 변의 길이와 같다.
같은 원에 내접하는 정육각형의 한 변과 정십각형의 한 변을 한 끝에서 두 변이 일직선이 되게 하자. 그러면 전체 선분에 대하여 이 두 변이 황금비로 자른 두 선분과 같으며 황금비로 자른 두 선분 중 큰 선분이 정육각형의 한 변이다.
원 \(\rm ABC\)에 대하여, 원 \(\rm ABC\)에 내접하는 정십각형의 한 변을 \(\rm BC\)라 하고, 내접하는 정육각형의 한 변을 \(\rm CD\)라고 하자. 두 변 \(\rm BC\)와 \( \rm CD\)를 점 \( \rm C\)에서 일직선이 되게 하자. 그러면 전체 선분 \(\rm BD\)는 점 \(\rm C\)에 의해서 황금비로 잘라지며 잘라진 두 선분 \(\rm BC\), \( \rm CD\) 중 큰 선분이 \( \rm CD\)이다.
주어진 원에 내접하는 정오각형의 한 변으로 만든 정사각형 넓이는 같은 원에 내접하는 정육각형의 한 변으로 만든 정사각형 넓이와 정십각형의 한 변으로 만든 정사각형의 넓이의 합과 같다.
주어진 원 \(\rm ABCDE\)에 내접하는 정오각형 ABCDE의 한 변으로 하는 정사각형의 넓이는 원 \(\rm ABCDE\)에 내접하는 정육각형의 한 변으로 만든 정사각형 넓이와 원 \(\rm ABCDE\)에 내접하는 정십각형의 한 변으로 만든 정사각형의 넓이의 합과 같다.
지름이 유리수인 원에 내접한 정오각형의 한 변의 길이는 무리수이며 이를 ‘마이너(minor)’라고 한다.
지름이 유리수인 원 \(\rm ABCDE\)에 내접한 정오각형 \(\rm ABCDE\)의 한 변의 길이 \(\rm AB\)는 무리수이며 이를 ‘마이너(minor)’라고 한다.
주어진 원에 내접한 정삼각형에 대하여, 정삼각형의 한 변으로 만든 정사각형의 넓이는 원의 반지름으로 만든 정사각형의 넓이의 세배이다.
주어진 원 \(\rm ABC\)에 내접한 정삼각형 \(\rm ABC\)에 대하여, 정삼각형의 한 변 \(\rm AB\)으로 만든 정사각형의 넓이는 원 \(\rm ABC\)의 반지름으로 만든 정사각형의 넓이의 \(3\)배이다.
주어진 구에 정사면체(Pyramid, Tetrahedron)를 내접시킬 수 있다. 그리고 구의 지름으로 만든 정사각형의 넓이는 정사면체의 한 변으로 만든 정사각형 넓이의 \(\frac32\)배이다.
주어진 구에 정사면체(Pyramid, Tetrahedron)를 내접시킬 수 있다. 그리고 (구의 지름으로 만든 정사각형의 넓이)\(=\frac32\)(정사면체의 한 변으로 만든 정사각형 넓이)이다.
주어진 구에 정팔면체를 내접시킬 수 있다. 그리고 구의 지름으로 만든 정사각형의 넓이는 구에 내접한 정팔면체의 한 변으로 만든 정사각형의 넓이의 두 배이다.
주어진 구에 정팔면체를 내접시킬 수 있다. 그리고 구의 지름으로 만든 정사각형의 넓이는 구에 내접한 정팔면체의 한 변으로 만든 정사각형의 넓이의 두 배이다.
주어진 구에 정육면체를 내접시킬 수 있다. 또한 구의 지름으로 만든 정사각형 넓이는 구에 내접한 정육면체 한 모서리가 한 변인 정사각형 넓이의 세 배이다.
주어진 구에 정육면체를 내접시킬 수 있다. 또한 (구의 지름으로 만든 정사각형 넓이)=3 *(구에 내접한 정육면체 한 모서리가 한 변인 정사각형 넓이)이다.
주어진 구에 정이십면체를 내접시킬 수 있다. 그리고 정이십면체의 한 변의 길이는 무리수이다.
주어진 구에 정이십면체를 내접시킬 수 있다. 그리고 정이십면체의 한 변의 길이는 무리수이다.
주어진 구에 정십이면체를 내접시킬 수 있다. 그리고 정십이면체의 변의 길이는 무리수이며 황금비로 잘려진 선분이다.
주어진 구에 정십이면체를 내접시킬 수 있다. 그리고 정십이면체의 변의 길이는 무리수이며 황금비로 잘려진 선분이다.