원에 내접한 두 닮은꼴 다각형의 넓이 비율은 원의 지름으로 만든 정사각형들의 넓이 비율과 같다.
두 원 \(\rm ABC\), \(\rm FGH\)에 각각 내접하는 닮은꼴 다각형 \(\rm ABCDE\), \(\rm FGHKL\)이 내접하고 있고, 지름이 각각 선분 \(\rm BM\), \(\rm GN\)이라고 하자. 그러면 \(\frac{(\text{한 변의 길이가} \rm\overline{\rm BM}\text{인 정사각형 넓이})}{(\text{한 변의 길이가} \rm\overline{\rm GN}\text{인 정사각형 넓이})}=\frac{(\text{다각형} \rm ABCDE \text{넓이})}{(\text{다각형} \rm FGHKL \text{넓이})}\)이다.
두 원의 넓이의 비는 각 원의 지름을 한 변으로 하는 정사각형의 넓이의 비와 같다.
두 원 \(\rm ABCD\)와 \(\rm EFGH\)에 대하여, 각 원의 지름을 각각 선분 \(\rm BD\), \(\rm FH\)이라고 하자. 그러면 두 원 \(\rm ABCD\)와 \(\rm EFGH\)의 넓이의 비율과 선분 \(\rm BD\), \(\rm FH\)를 한 변으로 하는 정사각형 넓이의 비율은 \(\frac{(\text{원} \rm ABCD \text{넓이})}{(\text{원} \rm EFGH \text{넓이})}=\frac{\overline{\rm BD}^2}{\overline{\rm FH}^2}\)이다.
임의의 밑면이 삼각형인 각뿔은 두 개의 각뿔과 두 개의 각기둥으로 나누어질 수 있다. 두 각뿔은 밑면이 삼각형이고, 서로 닮은꼴이며 부피가 같고, 전체 각뿔과 닮은꼴이다. 두 각기둥은 부피가 같으며, 두 각기둥의 부피의 합은 전체 각뿔의 절반보다 더 크다.
밑면이 삼각형 \(\rm ABC\)이고 꼭짓점이 점 \(\rm D\)인 각뿔 \(\rm ABC-D\)가 있다. 그러면 삼각뿔 \(\rm ABC-D\)은 두 개의 각뿔과 두 개의 각기둥으로 나누어질 수 있다. 두 각뿔은 밑면이 삼각형이고 서로 닮은꼴이며 부피가 같고, 전체 각뿔과 닮은꼴이다. 두 각기둥은 부피가 같고, 두 각기둥의 부피는 전체 각뿔의 부피의 절반 보다 크다.
밑면이 삼각형이고 높이가 같은 두 삼각뿔에 대하여, 이 두 삼각뿔을 각각 부피가 같고 전체 삼각뿔과 닮은꼴인 두 개의 삼각뿔과 부피가 같은 두 개의 삼각기둥으로 나누어라. 그러면 처음 두 삼각뿔의 밑면의 넓이의 비율은 각각의 삼각뿔에서 나온 두 삼각기둥의 부피 합의 비율과 같다.
밑면이 각각 삼각형 \(\rm ABC\), 삼각형 \(\rm DEF\)이고 꼭짓점이 각각 \(\rm G\), \(\rm H\)이며 높이가 같은 두 삼각뿔 \(\rm ABC-G\),
\(\rm DEF-H\)에 대하여, 각각 삼각뿔을 부피가 같고 닮은꼴인 두 삼각뿔과 부피가 같은 두 삼각기둥으로 나누어라. [XII권 명제 3] 그러면
두 밑면 삼각형 \(\rm ABC\), \(\rm DEF\)의 넓이의 비율은 삼각뿔 \(\rm ABC-G\)에서 나온 두 삼각기둥 \(\rm BOLK-PM\), \(\rm COL-NMP\)의
부피의 합과 삼각뿔 \(\rm DEF-H\)에서 나온 두 삼각기둥 \(\rm EVRQ-ST\), \(\rm FRV-UST\)의 부피의 합의 비율과 같다.
즉, \(\frac{(\text{삼각형} \rm ABC \text{넓이})}{(\text{삼각형} \rm DEF \text{넓이})}=\frac{(\text{삼각기둥} \rm BOLK-PM
\text{넓이})+(\text{삼각기둥} \rm COL-NMP \text{넓이})}{(\text{삼각기둥} \rm EVRQ-ST \text{넓이})+(\text{삼각기둥} \rm FRV-UST
\text{넓이})}\)이다.
밑면이 삼각형이며 높이가 같은 두 삼각뿔의 부피 비율은 밑면의 넓이 비율과 같다.
높이가 같은 두 삼각뿔에 대하여, 두 밑면이 각각 삼각형 \(\rm ABC\), \(\rm DEF\)이고 꼭짓점이 각각 \(\rm G\), \(\rm H\)라고 하자. 그러면 \(\frac{(\text{삼각뿔}\rm ABC-G \text{부피})}{(\text{삼각뿔}\rm DEF-H \text{부피})}=\frac{(\text{밑면 삼각형}\rm ABC \text{넓이})}{(\text{밑면 삼각형}\rm DEF \text{넓이})}\)이다.
높이가 같고 밑면이 다각형인 두 각뿔의 부피의 비율은 밑면 다각형의 넓이의 비율과 같다.
밑면이 다각형 \(\rm ABCDE\), \(\rm FGHKL\)이고 각 꼭짓점이 \(\rm M\), \(\rm N\)인 두 각뿔의 높이가 같다고 하자. 그러면 \(\frac{(\text{밑면 오각형} \rm ABCDE \text{넓이})}{(\text{밑면 오각형}\rm FGHKL \text{넓이})}=\frac{(\text{오각뿔}\rm ABCDE-M \text{부피})}{(\text{오각뿔}\rm FGHKL \text{부피})}\)이다.
밑면이 삼각형인 삼각기둥은 밑면이 삼각형이며 부피가 같은 세 삼각뿔로 나눌 수 있다.
밑면이 삼각형 \(\rm ABC\)이고 반대쪽 밑면이 삼각형 \(\rm DEF\)인 삼각기둥 \(\rm ABC-DEF\)은 부피가 같은 세 삼각뿔로 나눌 수 있다.
닮음인 밑면이 삼각형인 두 삼각뿔의 부피의 비율은 대응하는 변들의 세제곱 비율과 같다.
밑면이 삼각형 \(\rm ABC\)이고 꼭짓점이 \(\rm G\)인 삼각뿔과 밑면이 삼각형 \(\rm DEF\)이고 꼭짓점이 \(\rm H\)인 삼각뿔은 닮음이다. 그러면 \(\frac{(\text{삼각뿔}\rm ABC-G \text{부피})}{(\text{삼각뿔}\rm DEF-H \text{부피})}=\frac{{\overline{\rm BC}}^3}{{\overline{\rm EF}} ^3}\)이다.
닮음이며 밑면이 다각형인 두 각뿔의 부피 비율도 대응하는 변의 세제곱의 비율과 같다.
밑면이 삼각형 ABC이고 꼭짓점이 \(\rm G\)인 삼각뿔 \(\rm ABC-G\)와 밑면이 삼각형 \(\rm DEF\)이고 꼭짓점이 \(\rm H\)인 삼각뿔 \(\rm DEF-H\)는 \((\text{삼각뿔}\rm ABC-G \text{부피}) = (\text{삼각뿔}\rm DEF-H \text{부피})\)이다. 그러면 \(\frac{(\text{밑면 삼각형}\rm ABC \text{넓이})}{(\text{밑면 삼각형}\rm DEF \text{넓이})}=\frac{(\text{삼각뿔}\rm DEF-H \text{높이})}{(\text{삼각뿔}\rm ABC-G \text{높이})}\)이다.
그리고 \(\frac{(\text{밑면 삼각형}\rm ABC \text{넓이})}{(\text{밑면 삼각형}\rm DEF \text{넓이})}=\frac{(\text{삼각뿔}\rm DEF-H \text{높이})}{(\text{삼각뿔}\rm ABC-G \text{높이})}\)인 두 삼각뿔 \(\rm ABC-G\), \(\rm DEF-H\)는 \((\text{삼각뿔}\rm ABC-G \text{부피}) = (\text{삼각뿔}\rm DEF-H \text{부피})\)이다.
원뿔 부피는 밑면이 원뿔의 밑면인 원의 크기와 같고 원뿔의 높이가 같은 원기둥 부피의 \(\frac13\)이다.
원뿔과 원기둥의 밑면은 원 \(\rm ABCD\)으로 같고 높이가 같다. 그러면 \(\text{(원뿔 부피)} = \frac13 \text{(원기둥 부피)}\)이다. 즉, \(\text{(원기둥 부피)} = 3 \text{(원뿔 부피)}\)이다.
높이가 같은 두 원뿔과 두 원기둥의 부피 비율은 밑면의 넓이 비율과 같다.
높이가 같은 두 원뿔과 두 원기둥의 밑면이 각각 원 \(\rm ABCD\), 원 \(\rm EFGH\)이며, 원 \(\rm ABCD\), 원 \(\rm EFGH\)의 중심이 각각 점 \(\rm K\), \(\rm M\)이고 지름이 각각 선분 \(\rm AC\), \(\rm EG\)이다. 그러면 \(\frac{(\text{원}\rm ABCD \text{넓이})}{(\text{원}\rm EFGH \text{넓이})}=\frac{(\text{밑면이 원}\rm ABCD\text{이고 높이}\rm KL\text{인 원뿔 부피})}{(\text{밑면이 원}\rm EFGH\text{이고 높이가}\rm MN\text{인 원뿔 부피})}=\frac{(\text{밑면이 원}\rm ABCD\text{이고 높이가}\rm KL\text{인 원기둥 부피})}{(\text{밑면이 원}\rm EFGH\text{이고 높이가}\rm MN\text{인 원기둥 부피})}\)이다.
두 닮은꼴 원뿔 또는 두 닮은꼴 원기둥의 부피 비율은 밑면 지름의 세제곱의 비율과 같다.
두 닮은꼴 원뿔과 두 닮은꼴 원기둥의 밑면이 각각 원 \(\rm ABCD\), \(\rm EFGH\)이며, 밑면의 원의 지름이 각각 선분 \(\rm BD\), \(\rm FH\)이고, 원뿔과 원기둥의 축 위에 있는 높이가 각각 선분 \(\rm KL\), \(\rm MN\)이라고 하자. (단, 원 \(\rm ABCD\), \(\rm EFGH\)의 중심이 각각 \(\rm K\), \(\rm L\)이다.) 그러면 밑면이 원 \(\rm ABCD\)이고 꼭짓점이 \(\rm L\)인 원뿔 \(\rm ABCD-L\)과 밑면이 원 \(\rm EFGH\)이고 꼭짓점이 \(\rm N\)인 원뿔 \(\rm EFGH-N\)은 \(\frac{(\text{원뿔}\rm ABCD-L \text{부피})}{(\text{원뿔}\rm EFGH-N \text{부피})}=\frac{{\overline{\rm BD}}^3}{{\overline{\rm FH}}^3}\)이다.
원기둥을 원기둥 아래 밑면과 위 밑면에 평행한 평면으로 자르면, 두 개의 원기둥으로 나누어지는데 두 원기둥의 부피 비율은 각각의 원기둥 높이의 비율과 같다.
원기둥 \(\rm ABX-CDY\)를 아래 밑면 \(\rm ABX\)와 위 밑면 \(\rm CDY\)에 평행한 평면 \(\rm GHZ\)로 자르자. 그리고 원 \(\rm ABX\)의 중심 \(\rm K\), 원 \(\rm CDY\)의 중심 \(\rm F\)를 연결한 축 직선 \(\rm KF\)와 평면 \(\rm GHZ\)의 교점을 \(\rm K\)라 하자. 그러면, \(\frac{(\text{원기둥}\rm ABX-GHZ \text{부피})}{(\text{원기둥}\rm GHZ-CDY \text{부피})}=\frac{\overline{\rm EK}}{\overline{\rm KF}}\)이다.
밑면 원의 넓이가 같은 두 원뿔 부피는 두 원뿔 높이의 비율과 같다. 그리고 밑면 원의 넓이가 같은 두 원기둥의 부피 비율은 두 원기둥 높이 비율과 같다.
밑면이 각각 원 \(\rm ABI\), \(\rm CDP\)인 두 원기둥 \(\rm ABI-EJO\), \(\rm CDP-FST\)에 대하여 원기둥 \(\rm ABI-EJO\)의 아래 밑면 원과 위 밑면 원의 중심이 각각 \(\rm H\), \(\rm G\)이고 원기둥 \(\rm CDP-FST\)의 아래 밑면 원과 위 밑면 원의 중심이 각각 \(\rm L\), \(\rm K\)라 하자. 그러면 \(\frac{(\text{원기둥}\rm ABI-EJO \text{부피})}{(\text{원기둥}\rm CDP-FST \text{부피})}=\frac{\overline{\rm GH}}{\overline{\rm LK}}\)이다.
부피가 같은 두 원뿔과 두 원기둥은 각각의 밑면 원의 넓이는 높이의 역으로 비례한다. 역으로 두 원뿔과 두 원기둥이 밑면 원 넓이가 높이에 역으로 비례하면 두 도형의 부피는 같다.
각각 밑면이 원 \(\rm ABCD\), \(\rm EFGH\)인 두 원뿔 \(\rm ABCD-L\), \(\rm EFGH-M\)은 \((\text{원뿔}\rm ABCD-L \text{부피}) = (\text{원뿔}\rm EFGH-M \text{부피})\)이다. 두 원 \(\rm ABCD\), \(\rm EFGH\)의 지름을 각각 \(\rm AC\), \(\rm EG\)라 하고 중심을 각각 K, N이며 꼭짓점을 각각 \(\rm L\), \(\rm M\)이라하고 높이를 각각 \(\rm KL\), \(\rm NM\)이라 하자. 두 원기둥 \(\rm ABCD-IJOV\), \(\rm EFGH-PRWX\)를 만들자. 그러면 \(\frac{(\text{밑면 원}\rm ABCD \text{넓이})}{(\text{밑면 원}\rm EFGH \text{넓이})}=\frac{\overline{\rm NM}}{\overline{\rm KL}}\)이다.
동일한 중심을 갖는 크기가 다른 두 원에 대하여, 큰 원 안에 변의 개수가 짝수 개이고 모든 변의 길이가 같은 정다각형을 작은 원과 교점을 갖지 않도록 내접시킬 수 있다.
동일한 중심 \(\rm K\)를 가지며 \(\text{원} \rm ABCD\)가 \(\text{원}\rm EFGH\) 보다 큰 두 \(\text{원}\rm ABCD\), \(\rm EFGH\)가 있다. 그러면 \(\text{원}\rm EFGH\)에 교점을 가지지 않으며 짝수개의 변을 갖고 모든 변의 길이가 같은 정다각형을 \(\text{원}\rm ABCD\)에 내접 시킬 수 있다.
중심이 같은 서로 다른 두 구에 대하여, 작은 구에 표면과 만나지 않고 큰 구에 내접하는 다면체를 만들 수 있다.
서로 다른 두 구의 중심을 점 A라 하자. 그러면 작은 구에 표면과 만나지 않고 큰 구에 내접하는 다면체를 만들 수 있다.
구 \(\rm BCDE\)에 내접하는 다면체와 닮은 다면체를 다른 구에 내접시키면 구 \(\rm BCDE\)에 내접하는 다면체와 다른 구에 내접하는 닮은 다면체의 부피 비율은 구 \(\rm BCDE\)의 지름과 다른 구의 지름의 세제곱 비율이다.
두 구의 부피 비율은 지름의 길이의 세제곱 비율과 같다.
두 구 \(\rm ABC\), \(\rm DEF\)의 지름이 각각 선분 \(\rm BC\), \(\rm EF\)이라고 하면, \(\frac{\left( \text{구}\rm ABC\text{부피} \right)}{\left(\text{구}\rm DEF \text{부피}\right)}=\frac{{\overline{\rm BC}}^3}{{\overline{\rm EF}}^3}\)이다.