서로 대응하는 각 크기가 서로 같고, 각을 이루는 서로 대응하는 두 변의 길이가 비례하는 두 다각형을 닮은꼴 다각형이라고 한다.
각을 이루는 대응하는 두 변의 비가 역 비를 이룰 때, 두 도형은 역 관계에 있다 (reciprocally related)고 한다.
어떤 선분을 황금비로 자르면 전체 선분과 나누어진 선분 중 긴 선분의 비율은 긴 선분과 짧은 선분의 비율과 같다.
선분 \(\rm AB\)를 점 \(\rm C\)에 의해서 황금비로 자르면, \(\overline{\rm AB}:\overline{\rm AC}=\overline{\rm AC}:\overline{\rm CB}\)를 만족한다.
어떤 도형의 한 꼭짓점에서 밑면에 수직으로 그은 수직선분을 그 도형의 높이라고 한다.
높이가 같은 두 삼각형의 넓이는 밑변의 길이에 비례한다. 또 높이가 같은 두 평행사변형의 넓이는 밑변의 길이에 비례한다.
두 삼각형 \(\rm ABC\), \(\rm ACD\)의 높이가 같다. 그러면 \(S\left(\triangle\rm ABC\right):S\left(\triangle\rm ACD\right)=\overline{\rm BC}:\overline{\rm CD}\)이다. 또한 두 평행사변형 \(\rm EBCA\), \(\rm ACDF\)의 높이가 같다. 그러면 \(S\left(⏥\rm EBCA\right):S\left(⏥\rm ACDF\right)=\overline{\rm BC}:\overline{\rm CD}\)이다.
삼각형의 한 변에 평행하고 나머지 두 변과 교점이 갖도록 그리자. 그러면 나머지 두 변이 같은 비율로 잘린다. 역으로 삼각형의 두 변을 같은 비율로 자르면, 그 자른 점들을 연결한 직선과 나머지 한 변은 평행하다.
삼각형 \(\rm ABC\)에 대하여, 밑변 \(\rm BC\)에 평행한 나머지 두 변 \(\rm AB\), \(\rm AC\) 위의 점이 각각 \(\rm D\), \(\rm E\)인 선분 \(\rm DE\)를 그리자. 그러면 \(\overline{\rm BD}:\overline{\rm AD}=\overline{\rm CE}:\overline{\rm AE}\)이다. 또한 두 변 \(\rm AB\), \(\rm AC\) 위의 각각의 점 \(\rm D\), \(\rm E\)가 \(\overline{\rm BD}:\overline{\rm AD}=\overline{\rm CE}:\overline{\rm AE}\)이면 두 선분 \(\rm DE\), \(\rm BC\)는 평행하다.
삼각형의 한 각을 이등분하는 각이등분선이 밑변과 만나는 교점에 의해 나누어진 변의 비율은 인접한 나머지 두 변의 비율과 같다. 역으로 밑변을 인접한 나머지 두 변의 길이의 비율로 내분되는 내분점과 나머지 한 꼭짓점을 지나는 직선은 나머지 한 꼭짓점의 각을 이등분하는 각이등분선이다.
주어진 삼각형 \(\rm ABC\)의 각 \(\rm BAC\)를 이등분하는 각이등분선과 밑변 \(\rm BC\)와 교점을 \(\rm D\)라 하자. 선분 \(]\rm AD\)를 그리자. 그러면 \(\overline{\rm BD}:\overline{\rm CD}=\overline{\rm BA}:\overline{\rm AC}\)이다.
두 삼각형의 대응하는 각들이 각각 같다고 하자. 그러면 각을 끼고 있는 대응하는 두 변들은 서로 비례한다.
\(\rm\angle ABC=\angle DCE\), \(\rm\angle BAC=\angle CDE\), \(\rm\angle ACB=\angle DCE\)인 두 삼각형 \(\rm ABC\), \(\rm DCE\)에 대하여, \(\overline{\rm AB}:\overline{\rm AC}=\overline{\rm DC}:\overline{\rm DE}\), \(\overline{\rm AB}:\overline{\rm BC}=\overline{\rm DC}:\overline{\rm CE}\), \(\overline{\rm BC}:\overline{\rm CA}=\overline{\rm CE}:\overline{\rm ED}\)이다.
두 삼각형의 대응하는 변들이 비례한다고 하자. 그러면 두 삼각형의 대응하는 각들이 각각 같다.
두 삼각형 \(\rm ABC\), \(\rm DEF\)에 대하여, \(\overline{\rm AB}:\overline{\rm BC}=\overline{\rm DE}:\overline{\rm EF}\), \(\overline{\rm BC}:\overline{\rm CA}=\overline{\rm EF}:\overline{\rm FD}\), \(\overline{\rm BA}:\overline{\rm AC}=\overline{\rm ED}:\overline{\rm DF}\)이다. 그러면 \(\rm\angle ABC=\angle DEF\), \(\rm\angle BCA=\angle EFD\), \(\rm\angle BAC=\angle EDF\)이다.
두 삼각형이 있는데, 한 각의 크기가 같고, 그 각을 끼고 있는 변들의 길이가 비례한다고 하자. 그러면 그 두 삼각형의 나머지 대응하는 각들의 크기가 서로 같다.
두 삼각형 \(\rm ABC\), \(\rm DEF\)에 대하여, \(\rm\angle BAC=\angle EDF\)이고 \(\overline{\rm BA}:\overline{\rm AC}=\overline{\rm ED}:\overline{\rm DF}\)이라고 하자. 그러면 두 삼각형 \(\rm ABC\), \(\rm DEF\)의 나머지 각들이 같다. 즉, \(\rm\angle ABC=\angle DEF\), \(\rm\angle ACB=\angle DFE\)이다.
두 삼각형에 대하여, 한 각의 크기가 같고 그 각에 끼인 두 변의 길이가 비례한다. 그리고 나머지 한 각이 두 삼각형 모두 둔각이거나 예각이라고 하자. 그러면 두 삼각형의 대응하는 각들의 크기가 같다. 즉, 비례하는 변들의 마주보는 각들의 크기가 같다.
두 삼각형 \(\rm ABC\), \(\rm DEF\)에 대하여, \(\rm\angle BAC=\angle EDF\)이고 이 각을 끼고 있는 변들의 크기가 \(\overline{\rm AB}:\overline{\rm BC}=\overline{\rm DE}:\overline{\rm EF}\)이라고 하자. 또한 나머지 한 각 \(\rm C\), \(\rm F\)가 모두 \(\rm\angle C< 90^\circ\), \(\rm\angle D < 90^\circ\) 또는 모두 \(\rm\angle C > 90^\circ\), \(\rm\angle D > 90^\circ\)이라고 하자. 그러면 삼각형 \(\rm ABC\), \(\rm DEF\)의 비례하는 변들의 마주보는 각의 크기가 같다. 즉, \(\rm\angle ABC=\angle DEF\), \(\rm \angle C=\angle D\)이다.
직각삼각형의 직각인 점에서 빗변에 수선의 발을 찍고 두 점을 그리자. 이 때 만들어진 두 삼각형은 원래의 직각삼각형과 닮음이며 이 둘도 서로 닮음이다.
\(\rm\angle BAC=90^\circ\)인 직각삼형 \(\rm ABC\)의 점 \(\rm A\)에서 빗변 \(\rm BC\)에 내린 수선의 발을 \(\rm D\)라 하고 선분 \(\rm AD\)그리자. 그러면 두 삼각형 \(\rm DBA\), \(\rm DAC\)는 삼각형 \(\rm ABC\)와 닮음이며, 두 삼각형 \(\rm DBA\), \(\rm DAC\)들도 서로 닮음이다.
주어진 선분에서 선분의 부분의 정수배가 주어진 선분이 되는 선분의 부분을 잘라낼 수 있다.
주어진 선분 \(\rm AB\)에 대하여, \(n \overline{\rm AF}=\overline{\rm AB}\)인 점 \(\rm F\)는 선분 \(\rm AB\)의 내부점 \(\rm F\)를 잡아 \(\overline{\rm AF}\)를 잘라낼 수 있다.(단, \(n\)는 자연수)
자르지 않은 주어진 한 선분과 여러 개의 선분으로 잘려져 있는 선분에 대하여, 주어진 않은 자르지 한 선분을 여러 개의 선분으로 잘려진 선분과 같은 비율로 자를 수 있다.
주어진 선분 AB는 자르지 않은 선분이고, 주어진 선분 \(\rm AC\)는 그 내부 점 \(\rm D\), \(\rm E\)에서 잘려져 있다고 하자. 그러면 선분 \(\rm AB\)를 주어진 선분 \(\rm AC\)가 점 \(\rm D\), \(\rm E\)에 의해 잘려진 선분 길이의 비율만큼 자를 수 있다.
주어진 두 선분에 대하여, 두 선분 비례하는 중복 비율이 성립하는 세 번째 선분을 그릴 수 있다.
주어진 두 선분 \(\rm AB\), \(\rm AC\)에 대하여, \(\overline{\rm AB}:\overline{\rm AC}=\overline{\rm AC}:\overline{\rm CE}\)인 선분 \(\rm CE\)를 그릴 수 있다.
주어진 세 선분에 대하여, 첫 번째 선분과 두 번째 선분의 비율과 세 번째 선분과 네 번째 선분의 비율이 같은 네 번째 선분을 그릴 수 있다.
길이가 \(a\), \(b\), \(c\)인 세 선분에 대하여 \(a:b=c:\overline{\rm HF}\)인 길이 \(\overline{\rm HF}\)인 네 번째 선분 \(\rm HF\)를 그릴 수 있다.
주어진 두 직선의 길이의 비례 중항(기하 평균)인 길이를 갖는 선분을 그릴 수 있다.
주어진 두 직선 \(\rm AB\), \(\rm BC\)의 길이 \(\overline{\rm AB}\), \(\overline{\rm BC}\)의 비례 중항(기하 평균)인 길이를 갖는 선분을 그릴 수 있다.
넓이가 같고 각 각들의 크기가 같은 두 평행사변형은 같은 크기의 각을 끼고 있는 변들은 역으로 비례한다. 그리고 각 각들의 크기가 같은 두 평행사변형은 같은 크기의 각을 끼고 있는 변들이 역으로 비례하면 두 평행사변형의 넓이는 같다.
두 팽행사변형 \(\rm ADBF\), \(\rm BGCE\)는 (평행사변형 \(\rm ADBF\) 넓이) \(=\) (평행사변형 \(\rm BGCE\) 넓이)이고, 각각 각들의 크기가 같다고 하자. 그리고 각 \(\rm B\)의 크기가 같고, 두 선분 \(\rm DB\), \(\rm BE\)가 한 직선 위에 있다고 하자. 그러면 두 선분 \(\rm FB\), \(\rm BG\)도 한 직선 위에 있다. 그러면,
(1) 두 평행사변형 \(\rm ADBF\), \(\rm BGCE\)의 크기가 같은 각 \(\rm B\)를 끼고 있는 변들이 역으로 비례한다. 즉, \(\overline{\rm DB}:\overline{\rm BE}=\overline{\rm GB}:\overline{\rm BF}\)이다.
(2) 각 \(\rm B\)를 끼고 있는 변들이 \(\overline{\rm BG}:\overline{\rm BF}=\overline{\rm DB}:\overline{\rm BE}\)이면 (평행사변형 \(\rm ADBF\) 넓이)\(=\)(평행사변형 \(\rm BGCE\) 넓이)이다.
넓이가 같은 두 삼각형의 한 각의 크기가 같으면 그 각을 끼고 있는 변들은 역으로 비례한다. 그리고 한 각의 크기가 같은 두 삼각형에서 그 각의 변들이 역으로 비례하면 두 삼각형의 넓이가 같다.
넓이가 같은 두 삼각형 \(\rm ABC\), \(\rm ADE\)는 \(\rm\angle BAC=\angle DAE\)이라고 하자. 그러면 두 삼각형 \(\rm ABC\), \(\rm ADE\)에서 이 각들을 끼고 있는 변들의 길이가 역으로 비례한다. 즉, \(\overline{\rm CA}:\overline{\rm AD}=\overline{\rm EA}:\overline{\rm AB}\)이다.
또한 \(\rm\angle BAC=\angle DAE\)인 두 삼각형 \(\rm ABC\), \(\rm ADE\)에서 그 각들을 끼고 있는 변들의 길이가 역으로 비례하면, 즉, \(\overline{\rm CA}:\overline{\rm AD}=\overline{\rm EA}:\overline{\rm AB}\)이면, (삼각형 \(\rm ABC\) 넓이)\(=\)(삼각형 \(\rm ADE\) 넓이)이다.
네 선분들이 서로 비례한다고 하자. 그러면 양 끝의 두 선분으로 만든 직사각형 넓이는 가운데 두 선분으로 만든 직사각형의 넓이와 같다. 그리고 양 끝의 두 선분으로 만든 직사각형 넓이가 가운데 두 선분으로 만든 직사가형의 넓이와 같으면 네 선분은 서로 비례한다.
네 선분 \(\overline{\rm AB}\), \(\overline{\rm CD}\), \(e\), \(f\)가 \(\overline{\rm AB}:\overline{\rm CD}=e:f\)이라고 하면, 그러면 \(\overline{\rm AB}\), \(f\)를 두 변으로 하는 직사각형 넓이와 \(\overline{\rm CD}\), \(e\)를 두 변으로 하는 직사각형 넓이가 같다. 즉, \(\overline{\rm AB}\cdot f =\overline{\rm CD}\cdot e\)이다. 또한 \(\overline{\rm AB}\), \(f\)를 두 변으로 하는 직사각형 넓이와 \(\overline{\rm CD}\), \(e\)를 두 변으로 하는 직사각형 넓이가 같다고 하면, 즉, \(\overline{\rm AB}\cdot f = \overline{\rm CD} \cdot e\)이면 \(\overline{\rm AB}:\overline{\rm CD}=e:f\)이다.
세 선분의 길이 \(a\), \(b\), \(c\)가 \(a:b=b:c\)이라고 하자. 두 변의 길이가 \(a\), \(c\)인 직사각형 넓이와 한 변의 길이가 \(b\)인 정사각형의 넓이가 같다. 또한 세 선분의 길이가 \(a\), \(b\), \(c\)가 두 변의 길이가 \(a\), \(c\)인 직사각형 넓이와 한 변의 길이가 \(b\)인 정사각형의 넓이가 같으면 \(a:b=b:c\)이다.
세 선분의 길이 \(a\), \(b\), \(c\)가 \(a:b=b:c\)이라고 하자. 두 변의 길이가 \(a\), \(c\)인 직사각형 넓이와 한 변의 길이가 \(b\)인 정사각형의 넓이가 같다. 즉, \(ac=b^2\)이다. 또한 세 선분의 길이가 \(a\), \(b\), \(c\)가 두 변의 길이가 \(a\), \(c\)인 직사각형 넓이와 한 변의 길이가 \(b\)인 정사각형의 넓이가 같으면, 즉, \(ac=b^2\)이면 \(a:b=b:c\)이다.
주어진 어떤 다각형과 어떤 선분에 대하여, 그 선분 위에 주어진 어떤 다각형과 닮은꼴 다각형을 같은 방향에 작도할 수 있다.
주어진 다각형 \(\rm CDEF\)와 선분 \(\rm AB\)에 대하여, 선분 \(\rm AB\) 위에 다각형 \(\rm CDEF\)와 닮은꼴 다각형 \(\rm ABHG\)를 같은 방향에 작도할 수 있다.
닮음인 두 삼각형의 넓이의 비율은 변의 길이의 제곱 비율이다.
두 삼각형 \(\rm ABC\), 삼각형 \(\rm DEF\)는 닮음이라고 하자. 즉, \(\rm\angle B=\angle E\), \(\overline{\rm AB}:\overline{\rm BC}=\overline{\rm DE}:\overline{\rm EF}\)이라 하자. 그러므로 두 변 \(\rm BC\), 변 \(\rm EF\)는 대응하는 변이다. 그러면 (삼각형 \(\rm ABC\) 넓이) \(:\) (삼각형 \(\rm DEF\) 넓이) \(=\) \(\overline{\rm BC}^2:\overline{\rm EF}^2\)이다.
닮음 다각형들은 닮음 삼각형들로 쪼갤 수 있으며, 그 삼각형들의 개수는 같으며, 삼각형들의 넓이 비율은 전체 도형의 넓이 비율과 같다. 따라서 다각형들의 넓이 비율은 대응하는 변들의 제곱의 비율이다.
두 다각형 \(\rm ABCDE\)와 \(\rm FGHKL\)은 닮음 도형이고 변 \(\rm AB\)가 변 \(\rm FG\)에 대응한다고 하자. 그러면 두 다각형 \(\rm ABCDE\)와 \(\rm FGHKL\)은 닮음 삼각형들로 나눌 수 있으며, 나누어진 삼각형의 개수는 같으며, 삼각형들의 넓이 비율은 전체 넓이 비율과 같고, (다각형 \(\rm ABCDE\) 넓이)\(:\)(다각형 \(\rm FGHKL\) 넓이)\(=\overline{\rm AB}^2:\overline{\rm FG}^2\)이다.
주어진 한 다각형에 대해 닮은꼴인 두 다각형은 서로 닮은꼴이다.
두 다각형 \(\rm A\), \(\rm B\)가 주어진 다각형 \(\rm C\)와 닮은꼴이라고 하자. 그러면 두 다각형 \(\rm A\), \(\rm B\)는 닮은꼴이다.
네 선분이 서로 비례한다고 하자. 이 선분들 위에 닮은꼴 다각형들을 작도하자. 그러면 이들의 넓이는 서로 비례한다. 역으로 네 선분들 위에 닮은꼴 다각형을 작도하였을 때, 그들의 넓이가 비례하면 이 네 선분들은 서로 비례한다.
네 선분 \(\rm AB\), \(\rm CD\), \(\rm EF\), \(\rm GH\)가 \(\overline{\rm AB}:\overline{\rm CD}=\overline{\rm EF}:\overline{\rm GH}\)라 하자. 두 선분 \(\rm AB\), \(\rm CD\) 위에 닮은꼴 다각형 \(\rm KAB\), \(\rm LCD\)를 같은 방향에 작도하자. 그리고 두 선분 \(\rm EF\), \(\rm GH\) 위에 닮은꼴 다각형 \(\rm MEFI\), \(\rm NGHJ\)를 같은 방향에 작도하자. 그러면 (다각형 \(\rm KAB\) 넓이)\(:\)(다각형 \(\rm LCD\) 넓이)\(=\)(다각형 \(\rm MEFI\) 넓이)\(:\)(다각형 \(\rm NGHJ\) 넓이)이다.
대응하는 각들의 크기가 같은 두 평행사변형 넓이의 비율은 각 두 변들의 곱의 비율과 같다.
두 평행사변형 \(\rm ABCD\), \(\rm CEFG\)가 각들의 크기가 같다고 하자. 즉, \(\rm\angle BCD=\angle ECG\)라 하자. 그러면 (평행사변형 \(\rm ABCD\) 넓이)\(:\)(평행사변형 \(\rm CEFG\) 넓이)\(=\overline{\rm BC}\cdot\overline{\rm CD}:\overline{\rm CE}\cdot\overline{\rm CG}\)이다.
모든 평행사변형에서 한 대각선 위의 한 점에서 대각선의 일부를 포함한 두 평행사변형을 작도하자. 그러면 이 두 평행사변형은 처음 큰 평행사변형과 닮은꼴이고 두 평행사변형도 서로 닮은꼴이다.
평행사변형 \(\rm ABCD\)의 한 대각선 \(\rm AC\)를 그리자. 대각선 \(\rm AC\) 위의 한 점에서 대각선 일부를 포함한 두 평행사변형 \(\rm AFGE\), \(\rm FKCH\)를 그리자. 그러면 두 평행사변형 \(\rm AFGE\), \(\rm FKCH\)은 평행사변형 \(\rm ABCD\)와 닮은꼴이고 서로도 닮은꼴이다.
한 다각형과 닮은꼴이고 다른 어떤 다각형과 넓이가 같은 도형을 작도할 수 있다.
두 다각형 \(\rm ABC\)와 다각형 \(\rm D\)가 있다. 그러면 다각형 \(\rm ABC\)와 닮은꼴이면서 넓이가 다각형 \(\rm D\)와 같은 다각형을 작도할 수 있다.
주어진 한 평행사변형에 대하여, 그것과 닮은꼴인 평행사변형을 같은 영역에 공통각을 가지도록 작도하면, 새롭게 그린 평행사변형의 공통각을 갖는 꼭짓점의 반대편의 점은 전체 평행사변형의 대각선 위에 있다.
평행사변형 \(\rm ABCD\)와 닮은꼴인 평행사변형 \(\rm AEFG\)를 평행사변형 \(\rm ABCD\)와 같은 영역에 각 \(\rm DAB\)를 공통각을 가지도록 작도하자. 그러면 \(\rm AEFG\)의 점 \(\rm F\)는 평행사변형 \(\rm ABCD\)의 대각선 \(\rm AC\) 위에 있다.
주어진 어떤 선분 위에 평행사변형을 작도하는데 주어진 선분의 길이에 절반인 선분 위에 작도한 평행사변형과 닮은꼴이며 같은 방향에 작도한 평행사변형을 빼 버리고 작도하자. 그러면 주어진 선분의 절반 위에 놓이고 빼는 평행사변형과 닮은꼴인 평행사변형의 넓이가 가장 크다.
주어진 선분 \(\rm AB\)에 중점 \(\rm C\)를 잡자. 선분 \(\rm AB\) 위에 평행사변형 \(\rm ACDI\)를 작도하자. 이 평행사변형 \(\rm ACDI\)는 선분 \(\rm AB\)의 절반인 선분 \(\rm CB\) 위에 작도한 평행사변형 \(\rm CBED\)를 뺀 것이다. 그러면 평행사변형 \(\rm DCBE\)와 닮은꼴인 평행사변형을 뺀 평행사변형을 선분 AB 위에 작도한 평행사변형 중 평행사변형 \(\rm ACDI\)의 넓이가 가장 크다.
주어진 어떤 선분, 다각형, 평행사변형에 대하여, 평행사변형과 닮은꼴인 평행사변형을 뺀 평행사변형으로 다각형과 넓이가 같은 것은 그 선분 위에 작도하자. 그러면 다각형 넓이를 뺀 평행사변형과 닮은꼴인 평행사변형을 선분의 절반에 그린 것보다 도형의 넓이가 크지 않아야 한다.
주어진 선분 \(\rm AB\), 다각형 \(\rm C\), 빼야할 평행사변형과 닮은꼴인 평행사변형 \(\rm D\)가 있다. 그리고 도형 \(\rm C\)의 넓이는 선분 \(\rm AB\) 위에 선분 \(\rm AB\) 길이의 절반에 평행사변형 \(\rm D\)와 닮은꼴인 평행사변형을 그린 것 보다 넓지 않다. 이때 선분 \(\rm AB\) 위에 다각형 C와 넓이가 같은 평행사변형을 그려야 하며, 그 평행사변형은 평행사변형 \(\rm D\)와 닮은꼴인 평행사변형을 뺀 도형이어야 한다.
주어진 선분과, 다각형, 평행사변형이 있다. 그 선분에 주어진 다각형과 같은 넓이와 같도록 평행사변형을 작도할 수 있고, 주어진 선분 보다 긴 부분의 평행사변형이 주어진 평행사변형과 닮은꼴인 평행사변형만큼 더 크도록 작도할 수 있다.
주어진 선분 \(\rm AB\), 다각형 \(\rm C\), 평행사변형 \(\rm D\)가 있다. 다각형 \(\rm C\)와 넓이가 같은 평행사변형을 선분 \(\rm AB\) 위에 작도할 수 있고, \(\rm AB\) 보다 더 긴 부분의 평행사변형이 평행사변형 D와 닮은꼴 평행사변형이 되도록 작도할 수 있다.
직각삼각형에 세 변에 닮은꼴인 도형을 작도하자. 그러면 직각과 마주보는 변에 놓인 도형의 넓이는 나머지 두 변에 놓인 두 도형의 넓이의 합과 같다.
\(\rm\angle A=90^circ\)인 직각삼각형 \(\rm ABC\)의 세 변에 닮은꼴의 도형을 작도하자. 그러면 (변 \(\rm BC\) 위에 있는 도형 넓이)\(=\)(변 \(\rm AB\) 위에 있는 도형 넓이)\(+\)(변 \(\rm AC\)에 위에 있는 도형 넓이)이다.
두 변이 서로 비례하고 두 삼각형에 대하여, 두 삼각형을 한 점에 만나도록 하여 대응하는 변들이 평행하도록 만들 수 있으면 나머지 두 삼각형의 한 변들은 한 직선 위에 있다.
두 삼각형 \(\rm ABC\), \(\rm DCE\)의 두 변 \(\rm BA\), \(\rm AC\)와 두 변 \(\rm DC\), \(\rm DE\)가 \(\overline{\rm AB}:\overline{\rm AC}=\overline{\rm DC}:\overline{\rm DE}\)이라고 하자. 그리고 두 변 \(\rm AC\), \(\rm DC\)가 평행하고 두 변 \(\rm AC\), \(\rm DE\)가 평행다하고 하자. 그러면 변 \(\rm BC\)와 변 \(\rm CE\)는 한 직선 위에 있다.
합동인 두 원에서 중심각이든 원주각이든 각들의 비율은 그 각들이 마주보는 호들의 길이 비율과 같다.
합동인 두 원 \(\rm ABC\), \(\rm DEF\)가 있다. 각 \(\rm BGC\), \(\rm EHG\)은 중심이 각각 \(\rm G\), \(\rm H\)에 있는 중심각이고, 각 \(\rm BAC\), \(\rm EDF\)는 원주각이라고 하자. 그러면 \(\overset{\frown}{\rm BC} : \overset{\frown}{\rm EF}=\rm \angle BGC:\angle EHF\)이고 \(\overset{\frown}{\rm BC} : \overset{\frown}{\rm EF}=\rm\angle BAC:\angle EDF\)이다.