증명

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\(\rm\angle BAC=90^\circ\)인 직각삼형 \(\rm ABC\)의 점 \(\rm A\)에서 빗변 \(\rm BC\)에 내린 수선의 발을 \(\rm D\)라 하고 선분 \(\rm AD\)그리자.

그러면 두 삼각형 \(\rm DBA\), \(\rm DAC\)는 삼각형 \(\rm ABC\)와 닮음이며, 두 삼각형 \(\rm DBA\), \(\rm DAC\)들도 서로 닮음임을 보이자.

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(1) 두 삼각형 \(\rm ABC\), \(\rm DBA\)가 닮음임을 보이자.

두 삼각형 \(\rm ABC\), \(\rm DBA\)에서 \(\rm\angle BAC=90^\circ\), \(\rm\angle ADB=90^\circ\)이므로 \(\rm\angle BAC=\angle ADB\)이다. \(\rm B\)는 공통인 각이다. 따라서 \(\rm\angle ACB=180^\circ-\angle BAC-\angle B=180^\circ-\angle ADB-\angle B=\angle BAD\)이므로 \(\rm\angle ACB=\angle BAD\)이다. [I권 명제 32] 그러므로 두 삼각형 \(\rm ABC\), \(\rm DBA\)의 모든 각의 크기가 같다.

삼각형 \(\rm ABC\)의 변 \(\rm BC\)의 마주보고 있는 각 \(\rm A\)는 \(\rm\angle A=90^\circ\)이고, 삼각형 \(\rm DBA\)의 변 \(\rm BA\)의 마주보고 있는 각 \(\rm D\)는 \(\rm\angle D=90^\circ\)이다. 삼각형 \(\rm ABC\)의 변 \(\rm AB\)의 마주보고 있는 각은 각 \(\rm C\)이고 삼각형 \(\rm DBA\)의 변 \(\rm BD\)의 마주보고 있는 각은 각 \(\rm BAD\)이다. 그러므로 \(\overline{\rm BC}:\overline{\rm CA}=\overline{\rm AB}:\overline{\rm BD}\)이다. 또한 두 삼각형 \(\rm ABC\), \(\rm DBA\)의 공통인 각 \(\rm B\)의 마주보고 있는 변의 비율은 \(\overline{\rm AC}:\overline{\rm AD}=\overline{\rm BC}:\overline{\rm CA}=\overline{\rm AB}:\overline{\rm BD}\)이다. [VI권 명제 4]

그러므로 두 삼각형 \(\rm ABC\), \(\rm DBA\)는 각들의 크기가 같으며 같은 크기의 각들의 마주보고 있는 변들의 길이 비율은 같다.

그러므로 두 삼각형 \(\rm ABC\), \(\rm DBA\)는 닮음 삼각형이다. [VI권 정의 1]

비슷한 방법으로 두 삼각형 \(\rm ABC\), \(\rm DAC\)가 닮음 삼각형임을 보일 수 있다. 그러므로 두 삼각형 \(\rm DBA\), \(\rm DAC\)는 삼각형 \(\rm ABC\)와 닮음이다.

(2)두 삼각형 \(\rm DBA\), \(\rm DAC\)들도 서로 닮음임을 보이자.

\(\rm\angle BDA=90^\circ), \(\rm\angle ADC=90^\circ\)이므로 \(\rm\angle DBA=\angle ADC\)이다. 그리고 \(\rma\angle DBA=\angle C\)이다.

그러므로 \(\rm\angle DBA=\angle DBC\)이다.

그러므로 삼각형 \(\rm DBA\)의 각 \(\rm BAD\)의 마주보는 변은 \(\rm BD\)이고 삼각형 \(\rm DAC\)의 각 \(\rm C\)와 마주보는 변은 \(\rm DA\)이고 삼각형 \(\rm DBA\)의 각 \(\rm B\)와 마주보는 변은 \(\rm AD\)이고 삼각형 \(\rm DAC\)의 각 \(\rm DAC\)의 마주보는 변은 \(\rm DC\)이다. 따라서 \(\overline{\rm BD}:\overline{\rm DA}=\overline{\rm AD}:\overline{\rm DC}\)이다. 또한 두 삼각형 \(\rm DBA\), \(\rm BAD\)의 직각인 각 \(\rm BDA\), \(\rm ADC\)의 마주보는 각각의 변 \(\rm BA\), \(\rm AC\)의 비율도 같다. 즉, \(\overline{\rm BA}:\overline{\rm AC}=\overline{\rm BD}:\overline{\rm DA}=\overline{\rm AD}:\overline{\rm DC}\)이다. [VI권 명제 4] 그러므로 두 삼각형 \(\rm DBA\), \(\rm DAC\)는 닮음이다. [VI권 정의 1]

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그러므로 직각삼각형의 직각인 점에서 빗변에 수선의 발을 찍고 두 점을 그리자. 이 때 만들어진 두 삼각형은 원래의 직각삼각형과 닮음이며 이 둘도 서로 닮음이다.

Q.E.D.

따름명제

직각삼각형의 직각인 점에서 밑변에 수선의 발과 선분으로 그리자. 그러면 이 선분은 밑변을 수선의 발에 의해 잘린 두 선분의 비례 중항(기하 평균)이다.