증명

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$\mathrm{\angle }\mathrm{B}\mathrm{A}\mathrm{C}={90}^{\circ }$인 직각삼형 $\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{C}$의 점 $\mathrm{A}$에서 빗변 $\mathrm{B}\mathrm{C}$에 내린 수선의 발을 $\mathrm{D}$라 하고 선분 $\mathrm{A}\mathrm{D}$그리자.

그러면 두 삼각형 $\mathrm{D}\mathrm{B}\mathrm{A}$, $\mathrm{D}\mathrm{A}\mathrm{C}$는 삼각형 $\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{C}$와 닮음이며, 두 삼각형 $\mathrm{D}\mathrm{B}\mathrm{A}$, $\mathrm{D}\mathrm{A}\mathrm{C}$들도 서로 닮음임을 보이자.

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(1) 두 삼각형 $\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{C}$, $\mathrm{D}\mathrm{B}\mathrm{A}$가 닮음임을 보이자.

두 삼각형 $\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{C}$, $\mathrm{D}\mathrm{B}\mathrm{A}$에서 $\mathrm{\angle }\mathrm{B}\mathrm{A}\mathrm{C}={90}^{\circ }$, $\mathrm{\angle }\mathrm{A}\mathrm{D}\mathrm{B}={90}^{\circ }$이므로 $\mathrm{\angle }\mathrm{B}\mathrm{A}\mathrm{C}=\mathrm{\angle }\mathrm{A}\mathrm{D}\mathrm{B}$이다. $\mathrm{B}$는 공통인 각이다. 따라서 $\mathrm{\angle }\mathrm{A}\mathrm{C}\mathrm{B}={180}^{\circ }-\mathrm{\angle }\mathrm{B}\mathrm{A}\mathrm{C}-\mathrm{\angle }\mathrm{B}={180}^{\circ }-\mathrm{\angle }\mathrm{A}\mathrm{D}\mathrm{B}-\mathrm{\angle }\mathrm{B}=\mathrm{\angle }\mathrm{B}\mathrm{A}\mathrm{D}$이므로 $\mathrm{\angle }\mathrm{A}\mathrm{C}\mathrm{B}=\mathrm{\angle }\mathrm{B}\mathrm{A}\mathrm{D}$이다. [I권 명제 32] 그러므로 두 삼각형 $\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{C}$, $\mathrm{D}\mathrm{B}\mathrm{A}$의 모든 각의 크기가 같다.

삼각형 $\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{C}$의 변 $\mathrm{B}\mathrm{C}$의 마주보고 있는 각 $\mathrm{A}$는 $\mathrm{\angle }\mathrm{A}={90}^{\circ }$이고, 삼각형 $\mathrm{D}\mathrm{B}\mathrm{A}$의 변 $\mathrm{B}\mathrm{A}$의 마주보고 있는 각 $\mathrm{D}$는 $\mathrm{\angle }\mathrm{D}={90}^{\circ }$이다. 삼각형 $\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{C}$의 변 $\mathrm{A}\mathrm{B}$의 마주보고 있는 각은 각 $\mathrm{C}$이고 삼각형 $\mathrm{D}\mathrm{B}\mathrm{A}$의 변 $\mathrm{B}\mathrm{D}$의 마주보고 있는 각은 각 $\mathrm{B}\mathrm{A}\mathrm{D}$이다. 그러므로 $\overline{\mathrm{B}\mathrm{C}}:\overline{\mathrm{C}\mathrm{A}}=\overline{\mathrm{A}\mathrm{B}}:\overline{\mathrm{B}\mathrm{D}}$이다. 또한 두 삼각형 $\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{C}$, $\mathrm{D}\mathrm{B}\mathrm{A}$의 공통인 각 $\mathrm{B}$의 마주보고 있는 변의 비율은 $\overline{\mathrm{A}\mathrm{C}}:\overline{\mathrm{A}\mathrm{D}}=\overline{\mathrm{B}\mathrm{C}}:\overline{\mathrm{C}\mathrm{A}}=\overline{\mathrm{A}\mathrm{B}}:\overline{\mathrm{B}\mathrm{D}}$이다. [VI권 명제 4]

그러므로 두 삼각형 $\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{C}$, $\mathrm{D}\mathrm{B}\mathrm{A}$는 각들의 크기가 같으며 같은 크기의 각들의 마주보고 있는 변들의 길이 비율은 같다.

그러므로 두 삼각형 $\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{C}$, $\mathrm{D}\mathrm{B}\mathrm{A}$는 닮음 삼각형이다. [VI권 정의 1]

비슷한 방법으로 두 삼각형 $\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{C}$, $\mathrm{D}\mathrm{A}\mathrm{C}$가 닮음 삼각형임을 보일 수 있다. 그러므로 두 삼각형 $\mathrm{D}\mathrm{B}\mathrm{A}$, $\mathrm{D}\mathrm{A}\mathrm{C}$는 삼각형 $\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{C}$와 닮음이다.

(2)두 삼각형 $\mathrm{D}\mathrm{B}\mathrm{A}$, $\mathrm{D}\mathrm{A}\mathrm{C}$들도 서로 닮음임을 보이자.

$\mathrm{\angle }\mathrm{B}\mathrm{D}\mathrm{A}={90}^{\circ }),\text{(}\mathrm{\angle }\mathrm{A}\mathrm{D}\mathrm{C}={90}^{\circ }$이므로 $\mathrm{\angle }\mathrm{D}\mathrm{B}\mathrm{A}=\mathrm{\angle }\mathrm{A}\mathrm{D}\mathrm{C}$이다. 그리고 $\text{rma}\mathrm{\angle }DBA=\mathrm{\angle }C$이다.

그러므로 $\mathrm{\angle }\mathrm{D}\mathrm{B}\mathrm{A}=\mathrm{\angle }\mathrm{D}\mathrm{B}\mathrm{C}$이다.

그러므로 삼각형 $\mathrm{D}\mathrm{B}\mathrm{A}$의 각 $\mathrm{B}\mathrm{A}\mathrm{D}$의 마주보는 변은 $\mathrm{B}\mathrm{D}$이고 삼각형 $\mathrm{D}\mathrm{A}\mathrm{C}$의 각 $\mathrm{C}$와 마주보는 변은 $\mathrm{D}\mathrm{A}$이고 삼각형 $\mathrm{D}\mathrm{B}\mathrm{A}$의 각 $\mathrm{B}$와 마주보는 변은 $\mathrm{A}\mathrm{D}$이고 삼각형 $\mathrm{D}\mathrm{A}\mathrm{C}$의 각 $\mathrm{D}\mathrm{A}\mathrm{C}$의 마주보는 변은 $\mathrm{D}\mathrm{C}$이다. 따라서 $\overline{\mathrm{B}\mathrm{D}}:\overline{\mathrm{D}\mathrm{A}}=\overline{\mathrm{A}\mathrm{D}}:\overline{\mathrm{D}\mathrm{C}}$이다. 또한 두 삼각형 $\mathrm{D}\mathrm{B}\mathrm{A}$, $\mathrm{B}\mathrm{A}\mathrm{D}$의 직각인 각 $\mathrm{B}\mathrm{D}\mathrm{A}$, $\mathrm{A}\mathrm{D}\mathrm{C}$의 마주보는 각각의 변 $\mathrm{B}\mathrm{A}$, $\mathrm{A}\mathrm{C}$의 비율도 같다. 즉, $\overline{\mathrm{B}\mathrm{A}}:\overline{\mathrm{A}\mathrm{C}}=\overline{\mathrm{B}\mathrm{D}}:\overline{\mathrm{D}\mathrm{A}}=\overline{\mathrm{A}\mathrm{D}}:\overline{\mathrm{D}\mathrm{C}}$이다. [VI권 명제 4] 그러므로 두 삼각형 $\mathrm{D}\mathrm{B}\mathrm{A}$, $\mathrm{D}\mathrm{A}\mathrm{C}$는 닮음이다. [VI권 정의 1]

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그러므로 직각삼각형의 직각인 점에서 빗변에 수선의 발을 찍고 두 점을 그리자. 이 때 만들어진 두 삼각형은 원래의 직각삼각형과 닮음이며 이 둘도 서로 닮음이다.

Q.E.D.

따름명제

직각삼각형의 직각인 점에서 밑변에 수선의 발과 선분으로 그리자. 그러면 이 선분은 밑변을 수선의 발에 의해 잘린 두 선분의 비례 중항(기하 평균)이다.