VI 권
명제
대응하는 각들의 크기가 같은 두 평행사변형 넓이의 비율은 각 두 변들의 곱의 비율과 같다.
두 평행사변형 \(\rm ABCD\), \(\rm CEFG\)가 각들의 크기가 같다고 하자. 즉, \(\rm\angle BCD=\angle ECG\)라 하자. 그러면 (평행사변형 \(\rm ABCD\) 넓이)\(:\)(평행사변형 \(\rm CEFG\) 넓이)\(=\overline{\rm BC}\cdot\overline{\rm CD}:\overline{\rm CE}\cdot\overline{\rm CG}\)이다.
두 평행사변형 \(\rm ABCD\), \(\rm CEFG\)가 각들의 크기가 같다고 하자. 즉, \(\rm\angle BCD=\angle ECG\)라 하자.
그러면 (평행사변형 \(\rm ABCD\) 넓이)\(:\)(평행사변형 \(\rm CEFG\) 넓이)\(=\overline{\rm BC}\cdot\overline{\rm CD}:\overline{\rm CE}\cdot\overline{\rm CG}\)임을 보이자.
두 변 \(\rm BC\), \(\rm CG\)가 한 직선 위에 놓이도록 하자. 그러면 두 변 \(\rm DC\), \(\rm CE\)도 한 직선 위에 놓인다. [I권 명제 14]
평행사변형 \(\rm DCGH\)를 작도하자. [I권 명제 31] 길이가 \(k\)인 선분을 그리고, \(\overline{\rm BC}:\overline{\rm CG}=k:l\)이 되도록 길이가 \(l\)인 선분을 그리자. 또한 \(\overline{\rm DC}:\overline{\rm CE}=l:m\)인 길이가 \(m\)인 선분을 그리자. [VI권 명제 12]
그러면 \(k:l=\overline{\rm BC}:\overline{\rm CG}\), \(l:m=\overline{\rm DC}:\overline{\rm CE}\)이다.
그런데 \(k:m\)의 비율은 \(k:l\)과 \(l:m\)의 비율을 곱한 것과 같다. 즉, \(k:m=\overline{\rm BC}\cdot\overline{\rm DC}:\overline{\rm CG}\cdot\overline{\rm CE}\)이다.
\(\overline{\rm BC}:\overline{\rm CG}=\)(평행사변형 \(\rm ABCD\) 넓이)\(:\)(평행사변형 \(\rm CGHD\) 넓이)이다. [VI권 명제 1] 그런데 \(\overline{\rm BC}:\overline{\rm CG}=k:l\)이므로 \(k:l=\)(평행사변형 \(\rm ABCD\) 넓이)\(:\)(평행사변형 \(\rm CGHD\) 넓이)이다. [V권 명제 11]
그리고 \(\overline{\rm DC}:\overline{\rm CE}=\)(평행사변형 \(\rm CGHD\) 넓이)\(:\)(평행사변형 \(\rm CEFG\) 넓이)이다. [VI권 명제 1]
그런데 \(\overline{\rm DC}:\overline{\rm CE}=l:m\)이므로 \(l:m=\)(평행사변형 \(\rm CGHD\) 넓이)\(:\)(평행사변형 \(\rm CEFG\) 넓이)이다. [V권 명제 11]
\(k:l=\)(평행사변형 \(\rm ABCD\) 넓이)\(:\)(평행사변형 \(\rm CGHD\) 넓이)이고, \(l:m=\)(평행사변형 \(\rm CGHD\) 넓이)\(:\)(평행사변형 \(\rm CEFG\) 넓이)이므로 \(k:m=\)(평행사변형 \(\rm ABCD\) 넓이)\(:\)(평행사변형 \(\rm CEFG\) 넓이)이다. [V권 명제 22]
그런데 \(k:m=\overline{\rm BC}\cdot\overline{\rm DC}:\overline{\rm CG}\cdot\overline{\rm CE}\)이므로 (평행사변형 \(\rm ABCD\) 넓이)\(:\)(평행사변형 \(\rm CEFG\) 넓이)\()=\overline{\rm BC}\cdot\overline{\rm DC}:\overline{\rm CG}\cdot\overline{\rm CE}\)이다.
그러므로 대응하는 각들의 크기가 같은 두 평행사변형 넓이의 비율은 각 두 변들의 곱의 비율과 같다.
Q.E.D.
이 명제는 가로 길이와 세로 길이의 곱인 직사각형의 넓이에 대한 기본 공식을 일반화한 것이다. 이러한 공식은 주어진 단위 넓이와 단위 길이에 달라지므로 단위 넓이는 변의 길이가 단위 길이와 같은 정사각형 넓이이다. 유클리드와 다른 그리스 수학자들은 주어진 길이의 단위나 넓이를 사용하지 않았기 때문에, 그들은 이 공식을 비율로 표현했다. 주어진 정사각형의 넓이에 대한 주어진 직사각형의 넓이의 비율은 직사각형의 변의 길이와 정사각형의 변의 길이의 비율의 곱이라고 말할 수 있다.
물론, 유클리드는 다음과 같이 넓이와 길이를 사용하지 않고 주어진 정사각형에 대한 주어진 직사각형의 비율은 정사각형의 변과 정사각형의 변의 비율의 곱이라고 말할 것이다.
비율의 곱에 대한 유클리드의 용어에는 ‘비율 합성(compounding the ratios)’이 포함된다. 직사각형 대 정사각형의 비율의 자연스러운 일반화는 직사각형 대 직사각형의 비율이다. 더 나아간 일반화는 하나의 평행사변형과 동일한 각을 갖는 다른 평행사변형의 비율이다. 이 명제가 평행사변형에 대한 일반화를 논의한 것이다.
직사각형과 평행사변형의 넓이
이러한 넓이에 대한 것은 원론에서 일찌기 앞에서 다루었다. 제1권과 제2권의 기본 개념은 사각형이나 평행사변형에서 주어진 직사각형이나 평행사변형과 동일한 넓이를 갖는 정사각형이나 다른 모양의 도형을 찾는 것이었다. 같은 밑면에 같은 높이로 두 개의 삼각형이 같다고 한 [I권 명제 35]에서 시작하여 주어진 직사각형과 같은 정사각형을 만든 I권 명제14로 마무리가 되었다.
이 책의 초기에는 같은 높이의 평행사변형이 밑변에 비례한다는 [I권 명제 35]를 일반화한 [VI권 명제 1]이 있었다. 마지막으로, 이 명제에서는 직사각형과 평행사변형의 넓이에 대한 완전한 진술이다.
이것은 넓이에 대한 기본적인 명제이지만, 실제로는 원론에서 이후 사용되지 않는다.