VI 권
명제
네 선분이 서로 비례한다고 하자. 이 선분들 위에 닮은꼴 다각형들을 작도하자. 그러면 이들의 넓이는 서로 비례한다. 역으로 네 선분들 위에 닮은꼴 다각형을 작도하였을 때, 그들의 넓이가 비례하면 이 네 선분들은 서로 비례한다.
네 선분 \(\rm AB\), \(\rm CD\), \(\rm EF\), \(\rm GH\)가 \(\overline{\rm AB}:\overline{\rm CD}=\overline{\rm EF}:\overline{\rm GH}\)라 하자. 두 선분 \(\rm AB\), \(\rm CD\) 위에 닮은꼴 다각형 \(\rm KAB\), \(\rm LCD\)를 같은 방향에 작도하자. 그리고 두 선분 \(\rm EF\), \(\rm GH\) 위에 닮은꼴 다각형 \(\rm MEFI\), \(\rm NGHJ\)를 같은 방향에 작도하자. 그러면 (다각형 \(\rm KAB\) 넓이)\(:\)(다각형 \(\rm LCD\) 넓이)\(=\)(다각형 \(\rm MEFI\) 넓이)\(:\)(다각형 \(\rm NGHJ\) 넓이)이다.
네 선분 \(\rm AB\), \(\rm CD\), \(\rm EF\), \(\rm GH\)가 \(\overline{\rm AB}:\overline{\rm CD}=\overline{\rm EF}:\overline{\rm GH}\)라 하자. 두 선분 \(\rm AB\), \(\rm CD\) 위에 닮은꼴 다각형 \(\rm KAB\), \(\rm LCD\)를 같은 형태로 작도하자. 그리고 두 선분 \(\rm EF\), \(\rm GH\) 위에 닮은꼴 다각형 \(\rm MEFI\), \(\rm NGHJ\)를 같은 형태로 작도하자.
그러면 (다각형 \(\rm KAB\) 넓이)\(:\)(다각형 \(\rm LCD\) 넓이)\(=\)(다각형 \(\rm MEFI\) 넓이)\(:\)(다각형 \(\rm NGHJ\) 넓이)임을 보이자.
두 선분 \(\overline{\rm AB}:o=o:\overline{\rm CD}\)인 길이가 \(o\)인 선분을 그리자. 또한 \(\overline{\rm EF}:p=p:\overline{\rm GH}\)인 길이가 \(p\)인 선분을 그리자. [VI권 명제 11]
\(\overline{\rm AB}:\overline{\rm CD}=\overline{\rm EF}:\overline{\rm GH}\)이므로 \(\overline{\rm CD}:o=\overline{\rm GH}:p\)이다. 그러므로 \(\overline{\rm AB}:o=\overline{\rm EF}:p\)이다. [V권 명제 22] 그러나 \(\overline{\rm AB}:o=\)(다각형 \(\rm KAB\) 넓이)\(:\)(다각형 \(\rm LCD\) 넓이)이고 \(\overline{\rm EF}:p=\)(다각형 \(\rm MEFI\) 넓이)\(:\)(다각형 \(\rm NGHJ\) 넓이)이다. [VI권 명제 19, 따름명제] 그러므로 (다각형 \(\rm KAB\) 넓이)\(:\)(다각형 \(\rm LCD\) 넓이)\(=\)(다각형 \(\rm MEFI\) 넓이)\(:\)(다각형 \(\rm NGHJ\) 넓이)이다. [V권 명제 11]
다음으로 (다각형 \(\rm KAB\) 넓이)\(:\)(다각형 \(\rm LCD\) 넓이)\(=\)(다각형 \(\rm MEFI\) 넓이)\(:\)(다각형 \(\rm NGHJ\) 넓이)이라고 하자.
그러면 \(\overline{\rm AB}:\overline{\rm CD}=\overline{\rm EF}:\overline{\rm GH}\)임을 보이자.
\(\overline{\rm EF}:\overline{\rm GH}\ne \overline{\rm AB}:\overline{\rm CD}\)이면 \(\overline{\rm EF}:\overline{\rm QR}=\overline{\rm AB}:\overline{\rm CD}\)인 선분 \(\rm QR\)을 그리자. [VI권 명제 12]
선분 \(\rm QR\) 위에 다각형 \(\rm MEFI\), \(\rm NGHJ\)와 닮은꼴인 다각형 \(\rm SQRT\)를 작도하자. [VI권 명제 18]
\(\overline{\rm AB}:\overline{\rm CD}=\overline{\rm EF}:\overline{\rm QR}\)이고 두 선분 \(\rm AB\), \(\rm CD\) 위에 닮은꼴 두 다각형 \(\rm KAB\), \(\rm LCD\)를 같은 방향에 작도하였으며, 두 선분 \(\rm EF\), \(\rm QR\) 위에 닮은꼴 두 다각형 \(\rm MEFI\), \(\rm SQRT\)를 같은 방향에 작도하였으므로, (다각형 \(\rm KAB\) 넓이)\(:\)(다각형 \(\rm LCD\) 넓이)\(=\)(다각형 \(\rm MEFI\) 넓이)\(:\)(다각형 \(\rm SQRT\) 넓이)이다.
그러나 가정에 의해서 (다각형 \(\rm KAB\) 넓이)\(:\)(다각형 \(\rm LCD\) 넓이)\(=\)(다각형 \(\rm MEFI\) 넓이)\(:\)(다각형 \(\rm NGHJ\) 넓이)이다. 그러므로 (다각형 \(\rm MEFI\) 넓이)\(:\)(다각형 \(\rm SQRT\) 넓이)\(=\)(다각형 \(\rm MEFI\) 넓이)\(:\)(다각형 \(\rm NGHJ\) 넓이)이다. [V권 명제 11]
그러므로 (다각형 \(\rm MEFI\) 넓이)\(:\)(다각형 \(\rm NGHJ\) 넓이)\(=\)(다각형 \(\rm MEFI\) 넓이)\(:\)(다각형 \(\rm SQRT\) 넓이)이어서 (다각형 \(\rm NGHJ\) 넓이)\(=\)(다각형 \(\rm SQRT\) 넓이)이다. [V권 명제 9]
그런데 두 다각형 \(\rm NGHJ\), \(\rm SQRT\)는 닮은꼴이며 같은 방향으로 작도되었다. 그러므로 \(\overline{\rm GH}= \overline{\rm QR}\)이다.
그런데 \(\overline{\rm AB}:\overline{\rm CD}=\overline{\rm EF}:\overline{\rm QR}\)이고 \(\overline{\rm QR}=\overline{\rm GH}\)이다. 그러므로 \(\overline{\rm AB}:\overline{\rm CD}=\overline{\rm EF}:\overline{\rm GH}\)이다.
그러므로 네 선분이 서로 비례한다고 하자. 이 선분들 위에 닮은꼴 다각형들을 작도하자. 그러면 이들의 넓이는 서로 비례한다. 역으로 네 선분들 위에 닮은꼴 다각형을 작도하였을 때, 그들의 넓이가 비례하면 이 네 선분들은 서로 비례한다.
Q.E.D.
증명 끝 부분에 누락된 증명 과정이 있다. 즉, \(\overline{\rm GH}=\overline{\rm QR}\)의 정당성이 누락되었다.
이를 추가하여 보면, 그 직전에 이들 선분에 합동인 두 다각형 \(\rm NGHJ\)와 \(\rm SQRT\)을 같은 방향으로 작도하였다. 따라서 대응하는 변 \(\rm\overline{\rm GH}=\overline{\rm QR}\)이다. 필요한 논리를 전개하는 데는 그리 어렵지 않다.
이 명제는 [X권]의 몇 명제와 [XII권 명제 4]에서 사용된다.