증명

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(1) 넓이가 같은 두 삼각형 \(\rm ABC\), \(\rm ADE\)는 \(\rm\angle BAC=\angle DAE\)이라고 하자.

그러면 두 삼각형 \(\rm ABC\), \(\rm ADE\)에서 이 각들을 끼고 있는 변들의 길이가 역으로 비례함을 보이자. 즉, \(\overline{\rm CA}:\overline{\rm AD}=\overline{\rm EA}:\overline{\rm AB}\)임을 보이자.

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두 선분 \(\rm CA\), \(\rm AD\)가 한 직선 위에 놓이도록 삼각형을 놓자. 그러면 두 선분 \(\rm EA\), \(\rm AB\)는 한 직선 위에 놓인다. [I권 명제 14]

선분 \(\rm BD\)를 그리자.

(삼각형 \(\rm ABC\) 넓이)\(=\)(삼각형 \(\rm ADE\) 넓이)이고 \(\rm\angle BAC=\angle DAE\)이므로 (삼각형 \(\rm CAB\) 넓이)\(:\)(삼각형 \(\rm BAD\) 넓이)\(=\)(삼각형 \(\rm EAD\) 넓이)\(:\)(삼각형 \(\rm BAD\) 넓이)이다. [VI권 명제 7]

그런데 (삼각형 \(\rm CAB\) 넓이)\(:\)(삼각형 \(\rm BAD\) 넓이)\(=\)\(\overline{\rm CA}:\overline{\rm AD}\)이다.[VI권 명제 1]

그리고 (삼각형 \(\rm EAD\) 넓이)\(:\)(삼각형 \(\rm BAD\) 넓이)\(=\)\(\overline{\rm EA}:\overline{\rm AB}\)이다.[VI권 명제 1]

그러므로 \(\overline{\rm CA}:\overline{\rm AD}=\overline{\rm EA}:\overline{\rm AB}\)이다. [V권 명제 11]

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(2) \(\rm\angle BAC=\angle DAE\)인 두 삼각형 \(\rm ABC\), \(\rm ADE\)에서 그 각들을 끼고 있는 변들의 길이가 역으로 비례한다고 하자. 즉, \(\overline{\rm CA}:\overline{\rm AD}=\overline{\rm EA}:\overline{\rm AB}\)이라 하자.

그러면 (삼각형 \(\rm ABC\) 넓이)\(=\)(삼각형 \(\rm ADE\) 넓이)임을 보이자.

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선분 BD그리자. \(\overline{\rm CA}:\overline{\rm AD}=\overline{\rm EA}:\overline{\rm AB}\)이므로 \(\overline{\rm CA}:\overline{\rm AD}=\)(삼각형 \(\rm ABC\) 넓이)\(:\)(삼각형 \(\rm BAD\) 넓이)이다. [VI권 명제 1] 그리고 \(\overline{\rm EA}:\overline{\rm AB}=\)(삼각형 \(\rm EAD\) 넓이)\(:\)(삼각형 \(\rm BAD\) 넓이)이므로 [VI권 명제 1], (삼각형 \(\rm CAB\) 넓이)\(:\)(삼각형 \(\rm BAD\) 넓이)\(=\)(삼각형 \(\rm EAD\) 넓이)\(:\)(삼각형 \(\rm BAD\) 넓이)이다

따라서 (삼각형 \(\rm CAB\) 넓이)=(삼각형 \(\rm EAD\) 넓이)이다.

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그러므로 넓이가 같은 두 삼각형의 한 각의 크기가 같으면 그 각을 끼고 있는 변들은 역으로 비례한다. 또한 한 각의 크기가 같은 두 삼각형에서 그 각의 변들이 역으로 비례하면 두 삼각형의 넓이가 같다.

Q.E.D.