증명

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두 팽행사변형 \(\rm ADBF\), \(\rm BGCE\)는 (평행사변형 \(\rm ADBF\) 넓이) \(=\) (평행사변형 \(\rm BGCE\) 넓이)이고, 각각 각들의 크기가 같다고 하자.

그리고 각 \(\rm B\)의 크기가 같고, 두 선분 \(\rm DB\), \(\rm BE\)가 한 직선 위에 있다고 하자. 그러면 두 선분 \(\rm FB\), \(\rm BG\)도 한 직선 위에 있다. [I권 명제 14]

그러면 (1) 두 평행사변형 \(\rm ADBF\), \(\rm BGCE\)의 크기가 같은 각 \(\rm B\)를 끼고 있는 변들이 역으로 비례한다. 즉, \(\overline{\rm DB}:\overline{\rm BE}=\overline{\rm GB}:\overline{\rm BF}\)임을 보이자.

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평행사변형 \(\rm FBEH\)를 작도하자. [I권 명제 31]

(평행사변형 \(\rm ADBF\) 넓이)\(=\)(평행사변형 \(\rm BGCE\) 넓이)\(\ne\)(평행사변형 \(\rm FBEH\) 넓이)이므로 (평행사변형 \(\rm ADBF\) 넓이)\(:\)(평행사변형 \(\rm FBEH\) 넓이)\(=\)(평행사변형 \(\rm BGCE\) 넓이)\(:\)(평행사변형 \(\rm FBEH\) 넓이)이다 [V권 명제 7]

그런데 (평행사변형 \(\rm ADBF\) 넓이)\(:\)(평행사변형 \(\rm FBEH\) 넓이)\(=\overline{\rm DB}:\overline{\rm BE}\)이다. [VI권 명제 1]

그리고 (평행사변형 \(\rm BGCE\) 넓이)\(:\)(평행사변형 \(\rm FBEH\) 넓이)\()=\overline{\rm BG}:\overline{\rm BF}\)이다. [VI권 명제 1]

그러므로 \(\overline{\rm DB}:\overline{\rm BE}=\overline{\rm BG}:\overline{\rm BF}\)이다. [V권 명제 11]

그러므로 두 평행사변형 \(\rm ADBF\), \(\rm BGCE\)는 같은 크기의 각 \(\rm B\)를 끼고 있는 변들이 역으로 비례한다. 나머지 각들에 대해서도 같은 방법으로 보일 수 있다.

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(2) 각 \(\rm B\)를 끼고 있는 변들이 \(\overline{\rm BG}:\overline{\rm BF}=\overline{\rm DB}:\overline{\rm BE}\)이면 (평행사변형 \(\rm ADBF\) 넓이)\(=\)(평행사변형 \(\rm BGCE\) 넓이)임을 보이자.

\(\overline{\rm BG}:\overline{\rm BF}=\overline{\rm DB}:\overline{\rm BE}\)이므로, \(\overline{\rm DB}:\overline{\rm BE}=\)(평행사변형 \(\rm ADBF\) 넓이)\(:\)(평행사변형 \(\rm FBEH\) 넓이)이고 \(\overline{\rm BG}:\overline{\rm BF}=\)(평행사변형 \(\rm BGCE\) 넓이)\(:\)(평행사변형 \(\rm FBEH\) 넓이)이므로 (평행사변형 \(\rm ADBF\) 넓이)\(:\)(평행사변형 \(\rm FBEH\) 넓이)\(=\)(평행사변형 \(\rm BGCE\) 넓이)\(:\)(평행사변형 \(\rm FBEH\) 넓이)이다. [VI권 명제 1, V권 명제 11]

그러므로 (평행사변형 \(\rm ADBF\) 넓이)\(=\)(평행사변형 \(\rm BGCE\) 넓이)이다. [V권 명제 9]

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그러므로 넓이가 같고 각 각들의 크기가 같은 두 평행사변형은 같은 크기의 각을 끼고 있는 변들은 역으로 비례한다. 그리고 각 각들의 크기가 같은 두 평행사변형은 같은 크기의 각을 끼고 있는 변들이 역으로 비례하면 두 평행사변형의 넓이는 같다.

Q.E.D.