VI 권
정의
각을 이루는 대응하는 두 변의 비가 역 비를 이룰 때, 두 도형은 역 관계에 있다 (reciprocally related)고 한다.
이것은 실제 정의가 아니라 그 의도에 가까운 것이다. 문자 그대로의 번역은 불완전하며 이 정의는 유클리드 이후에 추가되었을 수 있다.
의도는 여기에 설명된 바와 같이 [VI권 명제 15]에서 볼 수 있다.
[VI권 명제 15]는 두 삼각형이 한 꼭짓점에서 같은 각의 크기를 가진다면, 같은 각을 낀 대응하는 변이 역 비례하는 경우에만 두 삼각형의 넓이가 같다를 말하고 있다. 아래 그림에서 두 삼각형 \(\rm BAC\)와 \(\rm DAE\)에서 \(\rm\angle BAC=\angle DAE\)이다. 따라서 \(\overline{\rm CA} : \overline{\rm AD} = \overline{\rm EA} : \overline{\rm AB}\)인 경우에만 두 삼각형 넓이가 같다. 유클리드는 '역 비례'라는 용어를 정의하지 않지만 용어로 보아 그 의미는 명확하다.
비록 유클리드가 아래의 것을 다루지는 않았지만, 왼쪽에 보이는 것처럼 어떤 삼각형이 역 관계인지의 조건을 찾는 일은 매우 흥미로울 것이다. 조건은 \(\overline{\rm AB}:\overline{\rm DE}=\overline{\rm DF}:\overline{\rm AC}\), \(\overline{\rm BC}:\overline{\rm EF}=\overline{\rm DE}:\overline{\rm AB}\), \(\overline{\rm AC}:\overline{\rm DF}=\overline{\rm EF}:\overline{\rm BC}\)로 곱으로 나타내면 \(\overline{\rm AB}\cdot \overline{\rm DE}=\overline{\rm BC}\cdot \overline{\rm EF}=\overline{\rm AC}\cdot\overline{\rm DF}\)이다.