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왜 별 모양의 다각형은 교과서에 없는가

작성자 : 수학사랑|조회수 : 24700

따짐이: 다각형이 뭐죠?

선생님: 글쎄... 교과서에서도 배우지 않았니?

따짐이: 교과서에서 말하기를, 다각형이란 몇 개의 선분으로 둘러싸인 도형이라고...

선생님: 그런데?

따짐이: 그래서 저는 <그림 1>에서 오각형이란 색칠한 부분이라고 생각했거든요. 그 부분이 다섯 개의 선분으로 둘러싸인 거니까요.

선생님: 그래서?

따짐이: 그런데 그게 아니잖아요? 색칠한 부분은 오각형의 내부라고 하고, 오각형은 ‘테두리’ 부분만 말하는 거죠?

선생님: 그렇지. 선분은 점들의 집합이고 오각형은 다섯 개의 선분들의 합집합이라고 할 수 있겠지.

따짐이: 그럼 오각형이 선분 다섯 개로 ‘둘러싸였다’고 할 수 있을까요? 오히려 오각형이 어떤 부분, 그러니까 그 내부를 ‘둘러싸고’ 있는 것 아닐까요?

선생님: 아주 좋은 지적이야. 교과서의 그 부분은 표현이 좀 부적절한 면이 있지. 정확한 정의라기보다는 직관적으로 파악하라는 뜻이라고 볼 수 있어.

따짐이: 다각형을 정확하게 정의하기가 그렇게 어렵나요?

선생님: 그러면, 네가 다각형이라는 용어의 뜻을 정한다면 어떻게 하겠니?

따짐이: 차례로 이어져서 제자리로 돌아오는 몇 개의 선분으로 이루어진 도형?

선생님: 차례로 이어진다거나 제자리로 돌아온다는 말이 분명하지 않은데?

따짐이: 음... 뭐라고 한 마디로 하기가 어렵긴 하네요. 그러면... 선분을 먼저 생각하지 말고 점을 먼저 생각할 수도 있지 않을까요? 몇 개의 점들을 돌아가며 차례로 잇는 선분들로 이루어진 도형...

선생님: 이젠 ‘돌아가며 차례로’ 라는 용어를 만들겠다는 건가?

따짐이: 네. 그러니까, 점들에 순서를 매기고 첫 번째 점과 두 번째 점을 잇는 선분, 두 번째 점과 세 번째 점을 잇는 선분, 등등을 만들고, 추가로 마지막 점과 처음 점을 잇는 선분을 만드는 것을 가리켜 그 점들을 돌아가며 차례로 잇는다고 하는 것이죠.

선생님: 오... 천잰데? 그러면 다각형을 입체적으로 꺾은 것 같은 도형은 어떻게 될까? 예를 들어 <그림 2> 와 같은 직육면체에서 점 A, B, F, G, C, D 를 돌아가며 차례로 이어서 만든 것도 육각형일까?

따짐이: 뭐, 넓게 보면 그렇다고 할 수도 있겠죠.

선생님: 그래? 그렇다면 다각형의 내각의 합에 대한 법칙은 어떻게 되지? 변의 수에서 2를 뺀 뒤 180도를 곱하면 내각의 합이 나온다는 법칙 말이야.

따짐이: 예? 아, 그러니까, 이 도형의 내각은 모두 90도이니까... 아니, 어디가 내각이지?

선생님: 이런 것도 다각형으로 생각하면 다각형의 성질이라고 부를 수 있는 것은 거의 아무것도 없겠지.

따짐이: 그러네요. 평면 안에서만 생각해야겠군요. 그러면 모든 꼭짓점들이 한 평면 위에 있는 것만 다각형이라고 부르면 되지 않을까요? 다각형이란, 한 평면 위에 있는 몇 개의 점을 돌아가며 차례로 잇는 선분들로 이루어진 도형이다, 이렇게요.

선생님: 그것도 좋지. 그러면 이른바 ‘별 다각형’ 은 어떻게 될까? 예를 들어 <그림 3> 과 같이 한 평면 위에 있는 다섯 개의 점 A, B, C, D, E 를 돌아가며 차례로 이어서 만든 도형을 오각형이라고 부를 수 있을까?

따짐이: 방금 별 ‘다각형’ 이라고 부르셨잖아요?

선생님: 하지만, 이것이 다각형이라고 한다면 교과서에 나와 있는 법칙들은 맞지 않아. 교과서에 의하면 오각형의 내각의 합은 540도가 되어야 하는데 별 오각형의 경우 180도밖에 안되고, 다각형의 외각의 합은 항상 360도라고 나와 있는데 별 오각형의 외각의 합은 720도가 되니까.

따짐이: 저도 그렇게 생각해요. 이런 모양, 그러니까 변들이 서로 만나는... 아니, 꼭짓점 이외의 점에서 변들이 만나는 것은 다각형에서 제외하도록 하죠. 아니, 그게 제 맘대로 되는 건 아니지만, 교과서에서 이런 모양을 다루지 않는 것은 각에 대한 그 법칙들이 항상 성립하도록 하려는 것이겠죠?

선생님: 바로 그거야. 학교에서 다각형을 공부하는 목적에 비추어 볼 때 <그림 2> 나 <그림 3> 과 같은 ‘괴물’ 들을 다루면 복잡하기만 하기 때문에 교과서에서는 다각형의 뜻을 직관적으로 파악하는 데서 그치도록 하고 있는 것이고, 실제로는 괴물이 아닌, 착한(?) 다각형들만 다루고 있는 것이지.

따짐이: 하지만 아직도 괴물이 남아 있는 것 같아요.

선생님: 뭐지?

따짐이: <그림 4> 와 같은 도형에서 내각의 합과 외각의 합을 구해 보면, 내각의 합은 540도가 되니까 맞는데요, 외각의 합이 360도가 되는 것이 아니라 그것도 540도가 돼요. 교과서에 이렇게 오목하게 들어간 부분이 있는 다각형은 다루지 않는다는 말이 있던데, 오목하게 들어간 것이 외각하고 무슨 상관이 있길래 그런 건지 잘 모르겠어요.

선생님: 다각형의 외각을 한 변의 연장선이 이웃한 변과 이루는 각으로만 생각하면 이해가 잘 안 되는 현상이지. 하지만 자전거를 타고 <그림 4>의 도형처럼 되어 있는 길을 따라 한 바퀴 돌고 다시 제자리로 오는 것을 생각해 보자. 그 때 외각의 의미는 무엇일까?

따짐이: 음... 외각은 길의 모퉁이에서 얼마나 방향을 틀어야 하는지를 나타내 주네요.

선생님: 바로 그거야. 외각은 그 점에서 방향을 바꿀 때 도는 각이지. 그래서 보통의 ‘착한’ 다각형에서 외각을 모두 더하면 한 바퀴를 다 도는 것이 되니까 360도라는 거야. 별 오각형(<그림 3>)의 경우 두 바퀴를 돌기 때문에 720도이고. 그런데 <그림 4>의 경우 C에서는 뭔가 좀 다르지 않니?

따짐이: 그건... 다른 곳에서는 반시계방향으로 방향을 트는데 C에서는 시계방향으로 방향을 튼다?

선생님: 그렇지!

따짐이: 그래서 90도가 아닌 -90도로 생각하면... 외각의 합이 360도가 맞는 것이군요.

선생님: 그래. 보통 다각형을 평면도형으로 보기 때문에 위의 괴물들 중 입체적으로 휘어진 것(<그림 2>)은 다각형이라고 하지 않지만 나머지는 모두 다각형이라고 해. 꼭짓점 이외의 점에서 변들끼리 만나는 것(<그림 3>)은 ‘단순하지 않은’ 다각형이라고 하고, 내부의 두 점을 잇는 선분이 다각형과 만날 수 있는 것(<그림 4>)은 ‘오목한’ 다각형이라고 하지. 교과서에 나오는, ‘착한’ 다각형은 사실 ‘단순한’ 다각형 중에서도 ‘볼록한’ 다각형을 말하는 것이지. 어떻게 생각하면 가장 밋밋한 종류지만, 음의 외각을 생각하지 않아도 되고, 외각의 합과 내각의 합에 대한 법칙을 비롯해 좋은 성질들을 많이 갖고 있는데다, 웬만한 응용에는 그것만으로도 충분하니까.

따짐이: 교과서가 보여 주지 못하는 곳에 괴물들이 숨어 있었네요. 괴물들을 상대하다 보니 수학 실력이 ‘렙업(수준이 올라감)’ 된 것 같아요.

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