이차방정식의 근
작성자 : 수학사랑|조회수 : 2911 |
정수m, n 에 대하여 이차방정식 x² + mx +n = 0의 근이 유리수이면 그 근은 정수임을 증명하여라.
[증명] 이차방정식 x² + mx +n = 0의 근은 근을 빨리 구하는 공식이 있다. 이를 우리는 근의 공식이라고 부른다. 근의 공식은
이다. 이 식에 대입하면, 이다. 이 때, 이 근이 유리수가 될려면, 근호안의 값은 0이거나 완전제곱식이 되어야한다. 따라서 근은 이고 이 근이 정수이려면 m이 짝수면 된다. 그런데 위 조건을 정리하면 ==> m² = 4n 여기서 m, n이 정수이므로 우변이 짝수이므로 좌변도 짝수이다. 정수 m²이 짝수이면 m도 짝수이다. ii) 근호 안이 완전제곱식이어야 하므로m² - 4n = a² (a〉0)로 놓으면 근은 이 때, 근과 계수와의 관계에 의하여 (또는 위 조건 m² - 4n = a² 을 정리하면)
따라서 i), ii)에 의하여 정수m, n 에 대하여 이차방정식x² + mx +n = 0의 근이 유리수이면 그 근은 항상 정수이다. |