수학사랑

중력을 받으며 구르는 공이 어떤 곡선을 따라 내려 올 때 가장 빠를까

이 문제를 brachistochrone problem이라고 한다. 여기서 brachisto는 그리스 말로 "가장 빠른", chrone는 "시간" 이라는 뜻의 영어 표기이다.

이 곡선이 바로 사이클로이드이고, 최단강하곡선 또는 최속강하곡선이라고 한다.

이 문제는 1696년 뉴턴이 시도했고 바로 다음날 해결하였다. (Boyer and Merzbach 1991, p. 405)

사실 라이프니쯔(Leibniz), 로피탈(L'Hospital), 뉴턴(Newton), 베르누이(Bernoulli) 형제에 의하여 이 문제의 답이 사이클로이드 곡선의 일부분임이 밝혀졌다.또한 이 문제는 변분법(calculus of variations)의 초기 문제 중의 하나이다.

한 지점 P₁에서 다른 지점 P₂까지 가는데 걸리는 시간은 다음과 같다.

에너지지 보존법칙에 따라 운동에너지와 위치에너지가 같으므로