수학사랑

선생님: 물론 나  같은 것을 배우면서  를 제곱하면 2 가 된다는 사실,  가 원의 지름과 둘레의 비율이라는 사실을 안다면 굳이 그것이 무리수라는 것은 밝히지 않아도 실용적으로는 문제가 없어.  측량이나 하고 건물이나 짓는 정도였다면 무리수는 필요 없었을지도 몰라.  네 말대로 유한소수만으로도 충분하지.

따짐이: 그렇다면, 역시 무리수는 순수한 이론적인 필요에 의해 생긴 건가요?

선생님: 아니.

따짐이: 헐~ 또 반전인가?

선생님: 유리수와 무리수를 통틀어 실수라고 하지?  실수의 개념이 지금처럼 중요해진 것은 그것이 ‘미적분’의 이론적 근거를 주기 때문이야.

따짐이: 미적분이라면, 뉴턴이 발명했다는…

들로 이루어져 있지.  그런데 미적분이 나오고 상당한 기간, 그것으로 실용적인 결과들을 얻기는 했지만 왜 그렇게 하면 되는지 확실한 증명을 할 수 없었던 거지.

따짐이: 그게… 무리수와 관련이 있다고요?

선생님: 그렇지.  예를 들어 어떤 자동차의 속도가 계속 변하고 있을 때 어떤 순간의 속도라는 것은 무엇인가?  다시 말해, 속도를 구하려면 거리를 시간으로 나누어야 하는데 한 순간의 속도는 어떻게 구하는가?  이런 질문에 답하기 위해서는 ‘극한’ 이라는 개념을 확실하게 만들어 놓아야 하지.

따짐이: 극한… 극한과 무리수가 관련된다고요?

선생님: 무리수라기보다는 실수의 기본 성질과 관련이 있어.  사실 실수의 개념 자체가 단순히 유리수와 무리수를 합해서 만들었다기보다는 극한, 나아가 미적분으로 가는 이론적 근거를 마련하기 위해 만든 개념이라고 볼 수 있지.

따짐이: 실수의 어떤 성질이 그런 것들의 기초가 된다는 건가요? 교환법칙, 항등원, 이런 것?

선생님: 아니, 그건 아니고, 왜, 실수는 수직선을 빈틈없이 채운다고 하지?

따짐이: 예.

선생님: 바로 그 성질이야.  수학적으로는 좀 더 조심스럽게 정의되고, ‘완비성’이라 부르지.  이것이 극한으로, 더 나아가 미적분으로 연결되는 거지. 유리수만 있었다면 미적분의 기초가 약해져서 지금처럼 발전할 수도 없었을 것이고, 실제로 응용되는 일도 더 적었겠지.  알고보니 무리수도 꽤 실용적인 것 같지 않니?