중·고등학교 학생들을 위한

지오지브라와 함께 하는

유클리드 원론


들어가기

전설에 의하면 위 구절은 플라톤이 세운 아카데미 입구 현판에 기록되었다고 한다. 이 전설은 엘리아스(Elias)처럼 아리스토텔레스의 몇몇 해설가들에 의해 전해지는데, 그의 범주 위에서 해설(Commentary on the Categories), XVIII, 118, 18-19에 “플라톤 아카데미에, 뮤즈 신전이 쓰여지기 전에, 기하학을 모르는 자는 이 문으로 들어오지 말아라.(In Plato's Academy, before the temple of the Muses was written: Let None But Geometers Enter Here”)와 같이 기록되어 있다. 그리고 존 필로포누스(John Philoponus)dml ‘영혼에 관한 이야기(Commentary on the soul), XV, 117.27', 단순한 버전으로 “기하학을 모르는 자는 이 문으로 들어오지 말아라.(Let None But Geometers Enter Here)”와 같이 적혀 있다.

디오게네스 라에르티우스 IV, 10(Diogenes Laertius in IV)에는 플라톤의 가르침에서 기하학의 중요성을 보여 주는 다음과 같은 일화가 있다. 제노크라테스(Xenocrates)는 음악이나 기하학이나 천문학을 알지 못한 채 그와 함께 공부하고 싶어했으나, 플라톤은 “당신은 철학의 손아귀 안에 없기 때문에 가거라.”라고 말하였다. 이 당시, 기하학은 수학이나 다름 없었으니 수학을 모르면 이곳에 들어 올 자격이 없다는 것으로 수학이 얼마나 중요한 과목 중 하나였음을 볼 수 있는 대목이다.

당신은 지금 이곳에 들어와 있는다는 것은 기하학을 알고 있다는 것이다. 기하학의 세계에 이미 들어와 있다. «유클리드 원론»을 함께 연구하고 기하학에 대하여 함께 논의를 하였으면 한다.

'유클리드'는 누구인가? 원론 개요 홈페이지 사용 방법

I권

I권은 정의 23개, 공리 5개, 일반 상식 5개, 명제 48개가 수록되어 있으며 '직선, 각, 삼각형'에 대한 내용으로 구성되어 있다. 필수적이고 예비적인 정의와 설명 및 공준과 공리로 시작한다. I 권의 정리 중에는 합동, 평행선, 직선으로 이루어진 도형 등에 관한 친숙한 정리들이 포함되어 있다. 특히 명제 47과 명제 48은 피타고라스 정리와 그 역에 대한 것이다.

I권 바로가기

II권

II권은 정의 2개, 명제 14개가 수록되어 있으며 '도형의 넓이'에 대한 내용으로 구성되어 있다. 겨우 14개의 정리만을 포함하고 있는 작은 책인데 여기에서는 주로 피타고라스 학파의 기하 대수학을 다루고 있다. 이 책의 명제 12와 13은 근본적으로 오늘날 코사인 법칙으로 알려진 피타고라스 정리의 일반화이다.

II권 바로가기

III권

III권은 정의 11개, 명제 37개가 수록되어 있으며 '원'에 대한 내용으로 구성되어 있다. 따름 명제 2개를 포함하여 39개의 명제로 이루어져 있고, 원, 현, 할선, 접선, 연관된 각도의 측정 등에 관한 명제들을 포함하고 있다.

III권 바로가기

IV권

IV권은 정의 7개, 명제 16개가 수록되어 있으며 '다각형과 원'에 대한 내용으로 구성되어 있다. 자와 컴퍼스를 이용한 작도, 주어진 원에 내접하는 다각형 작도와 외접하는 다각형 작도, 정다각형 작도를 포함하고 있다.

IV권 바로가기

V권

V권은 정의 18개, 명제 25개가 수록되어 있다. 비율 이론에 대한 대가 다운 설명에 충당했다. 이 책은 수학적인 문헌 중에서 가장 훌륭한 걸작 중의 하나로 간주된다.

V권 바로가기

VI권

VI권은 정의 4개, 명제 44개가 수록되어 있다. 이전 명제들을 닮음 도형의 연구에 응용하고 있다.

VI권 바로가기

VII권

VII권은 정의 22개, 명제 39개가 수록되어 있다. 두 개 이상의 정수에 대한 최대공약수를 구하는 방법(유클리드 호제법)으로 시작한다. 또한 초기 피타고라스 학파의 비율 이론에 대한 명제들을 발견할 수 있다.

VII권 바로가기

VIII권

VIII권은 명제 27개가 수록되어 있다. 주로 연비례와 그것과 관련된 등비수열을 다루고 있다.

VIII권 바로가기

IX권

IX권은 명제 27개가 수록되어 있다.IX권은 명제 36개가 수록되어 있다. 수론에서 중요한 많은 명제들이 있는데 먼저 명제 14는 중요한 ‘산술의 기본 정리(Fundamental theorem of arithmetic)’즉 “1 보다 큰 임의의 정수는 반드시 소수들의 곱으로 표현될 수 있으며 근본적으로 단 한가지 방법으로 표현된다.”는 명제와 동치이다. 정리 20에서 ‘소수의 개수는 무한하다.’는 명제에 대한 매우 세련된 증명을 찾아볼 수 있다. 명제 35는 등비수열의 첫 n개의 항의 합에 대한 공식을 기하학적으로 유도 했다. 그리고 이 책의 마지막 명제인 명제 36은 짝수인 완전수를 만드는 놀라운 공식을 증명하고 있다.

IX권 바로가기

X권

X권은 정의 16개, 명제 115개가 수록되어 있다. 무리수들, 즉 어떤 주어진 선분의 길이를 단위로 재어 비율로 나타낼 수 없는 길이를 다루고 있다.

X권 바로가기

XI권

XI권은 정의 28개, 명제 39개가 수록되어 있다. 선과 면, 면과 면, 평행육면체, 정육면체, 각기둥들에 대한 내용을 담고 있다.

XI권 바로가기

XII권

XII권은 명제 18개가 수록되어 있다. 원의 넓이와 각뿔, 각기둥, 원뿔, 원기둥, 구의 부피(단, 원주율은 쓰지 않음.)등의 내용을 담고 있다. 원의 넓이는 지름의 제곱에 비례하고 구의 부피는 지름의 세제곱에 비례함을 이용하였다.

XII권 바로가기

XIII권

XIII권은 명제 18개가 수록되어 있다. 정사면체, 정육면체, 정팔면체, 정십이면체, 정이십면체의 다섯 종류만이 정다면체임을 증명하였다.

XIII권 바로가기

마무리

«유클리드 원론»에 대한 역사적으로 의미 있는 자료들을 모았다.

1. 유클리드 5번째 공리의 역사

2. 유클리드는 왜 이차곡선을 다루지 않았는가?

3. '아테네 학당' 속 유클리드가 석판에 그린 그림은 무엇인가?

4. 유클리드 원론 그림 변천

참고문헌

[1]David E. Joyce, https://mathcs.clarku.edu/~djoyce/java/elements/elements.html

[2]이무현 역, 유클리드 저, «기하학 원론 가, 나, 다, 라», 2003, 교우사

[3]Heath, «Thirteen Books of Euclid's Elements Vol 1, 2, 3», 1968, CAMBRIDGE

연락

◼ 황운구 ◼

⨳ 수학교육학 박사
⨳ 현 대전괴정고등학교 교사 / 공주대학교 수학교육과 겸임교수
michol92@gmail.com

오타 및 오류가 있으면 그 내용을 이메일로 보내 주시면 검토 후 수정 및 업로드 하겠습니다.


앞으로의 계획

유클리드 원론을 작업을 마치기까지 한 1년 정도 시간이 더 필요할 것 같습니다. 또한 역동적 증명(Dynamic Proof)도 함께 개발하여 탑재를 하려고 합니다. I권 명제 1의 증명 과정으로 만들어 보니 명제를 이해하는 데 도움이 될 것 같아 함께 개발하여 탑재를 지속적으로 하고 그림으로 증명하기 및 유투브 영상 작업도 계획 중입니다. 이러한 것은 몇 후에 여러 해를 거쳐 작업을 할 계획입니다. 우선 원론 책을 먼저 마무리를 하고 이를 홈페이지 서비스를 하는 것이 먼저이라서 지속적으로 업로드 하겠습니다. 한 권씩 단위로 업로들 될 예정입니다.

저작권 표시-비영리-변경금지