수학사랑

1. 실수에서

실수 a에 대하여 | a |는 수직선상에서 실수 a가 원점으로부터 떨어진 거리입니다. 여기서 거리는 항상 0 이상이므로 어떠한 수의 절댓값은 0 이상인 수가 나옵니다. 이러한 기하학적 정의로부터 다음과 같은 대수적 정의가 나옵니다.

(1) a > 0 이면 | a | = a,

(2) a = 0 이면 | a | = 0,

(3) a < 0 이면 | a | = - a.

함수 f : X → Y에 절댓값이 씌워진 경우가 있습니다. 이를테면

y = | sin x |

의 경우가 있습니다. 이때는 절댓값도 하나의 함수로 생각해야 합니다. 따라서

f(x) = sin x, g(x) = | x |

라고 하면 위의 식은

y = g(f(x))

와 같은 합성함수로서 생각할 수 있습니다. 즉, 절댓값은 함수입니다. 이렇게 절댓값 안에 또다른 함수가 있을 경우에는 다음과 같이 나누어 생각합니다.

(1) f(x) > 0 인 구간에서는 | f(x) | = f(x),

(2) f(x) = 0 인 구간에서는 | f(x) | = 0,

(3) f(x) < 0 인 구간에서는 | f(x) | = - f(x).

이 방법을 통해서 | sin x |를 생각해 봅시다. sin x는 0 < x < π의 범위에서는 양수입니다. 그리고 주기가 2π인 양수이므로, 자연수 k에 대하여 2kπ < x < (2k+1)π에서는 sin x의 값이 양수임을 알 수 있습니다. 이러한 사실을 염두에 두고 | sin x |의 값을 범위를 나누어 생각해보면 다음과 같이 됩니다.

(1) 2kπ < x < (2k+1)π 인 범위에서는 | sin x | = sin x,

(2) x = kπ 인 점에서는 | sin x | = 0,

(3) (2k - 1)π < x < 2kπ 인 범위에서는 | sin x | = - sin x.

(여기서 k는 정수)

2. 복소수에서

절댓값의 의미를 실수에 대해서만 생각하는 경우가 많은데, 복소수에 대해서도 절댓값이 정의됩니다. 복소수 a + bi 의 절댓값은

| a + bi | =

가 됩니다. 복소수 a+bi는 수직선상에서 점 (a, b)로 표현할 수 있습니다. 이때에 수직 축은 허수축이 되므로 iy축이라고 합니다. 즉 x, y 평면이 아니라 x,iy 평면이 되는 것입니다. 임의의 복소수는 이러한 복소 평면의 한 점으로 표현할 수 있으며, 복소 평면 위의 임의의 점은 복소수로 표현할 수 있습니다. 그리고 복소수의 절댓값은 복소평면상에서 표현된 복소수의 점과 원점과의 거리가 됩니다.

만약 복소수 a+bi에 대하여 b=0일 때 a+bi는 실수가 됩니다. 이때에는 절댓값의 정의가 실수의 절댓값의 정의와 일치함을 알 수 있습니다.

참고로 f가 복소함수, 즉 치역이 복소수 집합일 때 | f(x) |는 다음과 같이 됩니다.

| f(x) | =

3. 공간벡터에서

절댓값은 공간벡터의 길이를 나타내기도 합니다. 점 v=(2, 3, 4)는 3차원 공간에서, 시점이 원점이고 종점이 (2, 3, 4)인 벡터입니다. 이 벡터의 길이는 원점으로부터 점 (2, 3, 4)까지의 거리가 됩니다. 이것이 바로 v의 절댓값 | v |가 됩니다. 이것을 계산해보면

| v | =

가 됩니다. 이 값을 벡터 v의 크기라고 하며, 벡터의 크기와 실수의 절대값을 구분하기 위하여 벡터의 절댓값을 벡터의 "놈(norm)"이라고 합니다.

4. 대학의 함수 해석에서

절댓값은 norm공간에서 norm의 의미로 사용되기도 합니다. 벡터공간 V의 norm은 V의 임의의 원소 v, w와 체(Field) F의 원소 k에 대하여

(1) | v | ≥ 0이고 | v | = 0 일 필요충분조건은 v가 영벡터인 것이다,

(2) | v + w | ≤ | v | + | w |,

(3) | kv | = |k| | v |

를 만족하는 것입니다. 여기서 두 번째 부등식을 삼각부등식이라고 합니다. norm과 절댓값을 구분하기 위하여 | x |라고 표현하는 대신 두 줄로 || x || 로 표현하기도 합니다. 임의의 벡터공간에 대하여 벡터의 내적을 이용하여 norm을 정의할 수 있으며, norm을 이용하여 거리를 정의할 수 있습니다. 또한 선형인 norm이 완비인 공간을 바나흐 공간(Banach space)라고 합니다.

(출처 : '절댓값의 여러 가지 의미' - 네이버 지식iN)

행여 나중에라도 없어지면 링크해도 못볼까 하여 복사해 붙여넣었습니다. designeralice 란 분께서 올리신 글입니다.