수학사랑

[증명]

이차방정식 x² + mx +n = 0의 근은 근을 빨리 구하는 공식이 있다. 이를 우리는 근의 공식이라고 부른다.

근의 공식은

이다.

이 식에 대입하면,

이다.

이 때, 이 근이 유리수가 될려면, 근호안의 값은 0이거나 완전제곱식이 되어야한다.

따라서

근은 이고 이 근이 정수이려면 m이 짝수면 된다.

그런데 위 조건을 정리하면 ==> m² = 4n

여기서 m, n이 정수이므로 우변이 짝수이므로 좌변도 짝수이다.

정수 m²이 짝수이면 m도 짝수이다.

ii) 근호 안이 완전제곱식이어야 하므로m² - 4n = a² (a〉0)로 놓으면

근은

이 때, 근과 계수와의 관계에 의하여 (또는 위 조건 m² - 4n = a² 을 정리하면)

따라서 i), ii)에 의하여

정수m, n 에 대하여 이차방정식x² + mx +n = 0의 근이 유리수이면 그 근은 항상 정수이다.