수학사랑

그러면 집합 R은 집합 R의 원소이기도하고 원소가 아니기도 하여 모순이 된다. 즉,

만일 X ∈ R이면 집합 R은 자기 자신을 원소로 갖지 않아야 하므로 가 되어 모순이다.

한편 이면 집합 R의 원소가 되는 조건을 만족하므로 X ∈ R가 되어 모순이다.

이것을 러셀의 역설이라고 한다.

1901년 러셀이 위의 역설을 발견하고 프레게(G. Frege)에게 편지를 보냈다.

프레게는 이 때 Grundlagen der Arithmetik 라는 책을 완성하고 있었다.

이 역설은 그의 책의 엄밀성에 많은 흠집을 내게 되었고, 프레게는 다음과 같은 내용의 글을 덧붙여야만 했다.

"한 과학자는 막 작업이 끝난 책이 소용없을 만큼 탐탁한 어떤 것도 만나지 못했다. 러셀의 편지로부터 나는 책을 인쇄하기 직전에 그런 위치에 놓이게 되었다."

"A scientist can hardly meet with anything more undesirable than to have the foundation give way just as the work is finished. I was put in this position by a letter from Mr. Bertrand Russell when the work was nearly through the press."

사실 러셀 자신도 이 역설에 큰 충격을 받았다.

이로 말미암아 집합론, 논리학, 나아가 수학 전체의 정당성에 대한 재검토를 하게되는 계기가 되었다.

공리론적 집합론에서는 러셀의 역설이 있어도 이론적으로 큰 문제가 되지 않은 매우 큰 모임을 클래스(class)라고 한다.

이 클래스들 중에서 공리를 이용하여 러셀의 역설이 생기지 않도록 크기를 줄인 것을 집합(set)이라고 한다.