수학사랑

이것은 피타고라스 정리의 일반화로서 코사인법칙이라고 한다.  

위의 공식은 두 변과 끼인각으로 대변의 길이를 구할 수 있는 식이다.

이 식을 다음과 같이 변형하면, 세 변의 길이로부터 세 각의 코사인 값을 구할 수 있는 식이 된다.

(증명 1) 삼각비의 정의를 이용하여 증명해 보자.

다음 그림에서 색깔이 같은 부분끼리 넓이가 같다. 그 이유를 삼각비를 이용하여 설명해 보자.

위의 오른쪽 그림에서 색칠한 두 도형의 넓이는  둘다  이다.

또 색칠한 사각형의 넓이는 두 벡터 BA, BC의 내적이기도 하다. 

위의 내용을 예각삼각형 ABC에 대하여 적용하면 다음과 같다.  

(증명 2) 원과 비례를 이용하여 증명해 보자.

삼각형 ABC의 꼭지점 C를 중심으로하고, 점 A를 지나는 원을 그린다.

삼각형의 변의 연장선과 원이 만나는 점들을 선분으로 잇는다. 

(증명 3) 피타고라스의 정리와 삼각비를 이용하여 증명해 보자.

(증명 4) 정사영의 길이와 삼각비를 이용하여 증명해 보자.

(증명 5) 톨레미 정리와 삼각비를 이용하여 증명해 보자.

(증명 6) 점 C를 움직이면서 유클리드의 증명을 이해해 보자. 또 직각삼각형이 되게 해 보자.

다음은 유클리드 증명으로 만든 테셀레이션이다.

(증명 7) 좌표평면에서 해석기하로 증명해 보자.

(증명 8) 벡터의 내적을 이용하여 증명해 보자.