증명

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평행한 두 직선 \(\rm AB\), \(\rm CD\) 중 한 직선 \(\rm AB\)가 어떤 평면과 수직이다.

그러면, 직선 \(\rm CD\)도 그 평면과 수직인 것을 보이자.

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두 직선 \(\rm AB\), \(\rm CD\)가 평면과 만나는 점을 각각 \(\rm B\), \(\rm C\)라고 하자. 그러면 두 직선 \(\rm AB\), \(\rm CD\)는 한 평면 위에 있다. 그러면 세 직선 \(\rm AB\), \(\rm CD\), \(\rm BD\)는 한 평면 위에 있다. [XI권 명제 7]

\(\overline{\rm DE}=\overline{\rm AB}\)이고 직선 \(\rm DB\)와 수직인 (즉, \(\angle\rm DBE=90^\circ\)) 평면 위의 선분 \(\rm DE\)를 그리자. 그리고 세 선분 \(\rm BE\), \(\rm AE\), \(\rm AD\)를 그리자. [I권 명제 11, I권 명제 3]

직선 \(\rm AB\)가 어떤 평면과 수직이기 때문에 어떤 평면 위에 있으며 직선 \(\rm AB\)와 만나는 모든 직선은 직선 \(\rm AB\)와 수직이다. [XI권 정의 3] 그러므로 \(\angle\rm ABD=90^\circ\), \(\angle\rm ABE=90^\circ\)이다.

그리고 직선 \(\rm BD\)가 평행한 두 직선 \(\rm AB\), \(\rm CD\)와 만나므로 \(\angle\rm ABD+\angle CDB=180^\circ\)이다.

그러나 \(\angle\rm ABD=90^\circ\)이므로 \(\rm\angle CDB=90^\circ\)이다. 그러므로 직선 \(\rm CD\)는 직선 \(\rm BD\)와 수직이다. [I권 명제 29]

그리고 두 삼각형 \(\rm ABD\), \(\rm BDE\)에서 \(\overline{\rm AB}=\overline{\rm DE}\), \(\rm BD\)는 공통이므로 \(\overline{\rm AB}=\overline{\rm ED}\), \(\overline{\rm BD}=\overline{\rm DB}\)이고 \(\rm\angle ABE=\angle EDB=90^\circ\)이므로 합동이다.(SSS 합동) 따라서 \(\overline{\rm AD}=\overline{\rm BE}\)이다. [I권 명제 4]

그리고 \(\overline{\rm AB}=\overline{\rm DE}\), \(\overline{\rm BE}=\overline{\rm AD}\)이고, 두 삼각형 \(\rm ABE\), \(\rm ADE\)는 두 변 \(\rm AB\), \(\rm BE\)는 두 변 \(\rm ED\), \(\rm DA\)와의 길이는 \(\overline{\rm AB}=\overline{\rm ED}\), \(\overline{\rm BE}=\overline{\rm DA}\)이며, \(\overline{\rm AE}\)는 공통이므로 합동이다. (SSS 합동) 그러므로 \(\rm \angle AE=\angle EDA\)이다. [I권 명제 8]

그러나 \(\rm\angle ABE=90^\circ\)이므로 \(\rm\angle EDA=90^\circ\)이다. 그러므로 직선 \(\rm ED\)는 직선 \(\rm AD\)와 수직이다. (즉, \(\rm\angle ADE=90^\circ\)이다.) 그러므로 직선 \(\rm ED\)는 두 직선 \(\rm BD\), \(\rm DA\)를 포함하는 평면과 수직이다. [XI권 명제 4]

따라서 직선 \(\rm ED\) 역시 두 직선 \(\rm BD\), \(\rm DA\)를 포함하는 평면 위에 있으며 직선 \(\rm ED\)와 만나는 점 \(\rm D\)를 지나는 모든 직선과 수직이다. 또한 두 직선 \(\rm AB\), \(\rm BD\)는 두 직선 \(\rm BD\), \(\rm DA\)를 포함하는 평면 위에 있으므로[XI권 명제 2], 직선 \(\rm DC\)는 두 직선 \(\rm AB\), \(\rm BD\)를 포함하는 평면 위에 있다. 그러므로 직선 \(\rm DC\)는 두 직선\(\rm BD\), \(\rm DA\)를 포함하는 평면 위에 있다.

그러므로 직선 \(\rm ED\)는 직선 \(\rm DC\)와 수직이다. 또한 적선 \(\rm CD\)는 직선 \(\rm DE\)와 수직이다. 그런데 직선 \(\rm CD\)는 두 직선 \(\rm DE\), \(\rm BD\)의 교점 \(\rm D\)에서 직선 \(\rm BD\)와 수직이다. 그러므로 직선 \(\rm CD\)는 두 직선 \(\rm DE\), \(\rm BD\)의 교점 \(\rm D\)에서 두 직선 \(\rm DE\), \(\rm BD\)에 수직이다.

두 직선 \(\rm DE\), \(\rm DB\)를 포함하는 평면은 처음 어떤 평면이다. 따라서 직선 \(\rm CD\)는 어떤 평면에 수직이다.

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그러므로, 평행한 두 직선에 대하여 그 들 중 한 직선이 어떤 평면과 수직이면, 나머지 한 직선도 그 평면과 수직이다.

Q.E.D.