증명

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두 직선 \(\rm AB\), \(\rm CD\)가 한 평면에 수직이다.

그러면, 두 직선 \(\rm AB\), \(\rm CD\)는 서로 평행하다는 것을 보이자.

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두 직선 \(\rm AB\), \(\rm CD\)가 한 평면과의 교점을 각각 \(\rm B\), \(\rm D\)라고 하자.

선분 \(\rm BD\)를 그리자. 직선 \(\rm BD\)와 수직이면서 평면 위에 있는 직선 \(\rm DE\)를 \(\overline{\rm DE}=\overline{\rm AB}\)가 되도록 그리자. [I권 명제 3] 세 직선 \(\rm BE\), \(\rm AE\), \(\rm AD\)를 그리자.

직선 \(\rm AB\)는 평면과 수직이므로 직선과 평면의 교점 \(\rm B\)를 지나는 평면 위에 모든 직선은 직선 \(\rm AB\)와 수직이다. [XI권 정의 3]

그러나 두 직선 \(\rm BD\), \(\rm BE\) 각각 평면 위에 있으면서 직선 \(\rm AB\)와 만난다. 그러므로 \(\rm\angle ABD=\angle ABE=90^\circ\)이다. 같은 이유로 \(\rm\angle CDB=\angle CDE=90^\circ\)이다.

두 삼각형 \(\rm ABD\), \(\rm BDE\)는 \(\overline{\rm AB}=\overline{\rm DE}\), \(\overline{\rm BD}\)는 공통, \(\rm\angle ABD=\angle BDE=90^\circ\)이므로 합동이다.(SAS 합동) [I권 명제 4] 그러므로 \(\overline{\rm AD}=\overline{\rm BE}\)이다.

그런데 \(\overline{\rm AB}=\overline{\rm DE}\), \(\overline{\rm AD}=\overline{\rm BE}\) 이므로 \(\overline{\rm AB}=\overline{\rm ED}\), \(\overline{\rm BE}=\overline{\rm DA}\)이다. 그리고 \(\overline{\rm AE}\)는 공통이다. 따라서 두 삼각형 \(\rm ABE\), \(\rm BDE\)는 합동이다.(SSS 합동) [I권 명제 8] 따라서 \(\rm\angle ABE=\angle EDA\)이다.

그런데 \(\rm\angle ABE=90^\circ\)이므로 \(\rm \angle EDA=90^\circ\)이다. 그러므로 두 직선 \(\rm ED\), \(\rm DA\)는 수직으로 만난다.

그런데 직선 \(\rm ED\)는 두 직선 \(\rm BD\), \(\rm DC\)와 수직으로 만난다. 그러므로 한 점 \(\rm D\)에서 만나는 세 직선 \(\rm BD\), \(\rm DA\), \(\rm DC\)에 수직이 되도록 직선 \(\rm ED\)를 그렸다. 따라서 세 직선 \(\rm BD\), \(\rm DA\), \(\rm DC\)는 한 평면 위에 있다. [XI권 명제 5]

그런데 두 직선 \(\rm DB\), \(\rm DA\)가 어떤 평면 위에 있으면 직선 \(\rm AB\)도 그 평면 위에 있다. [XI권 명제 2]

따라서 세 직선 \(\rm AB\), \(\rm BD\), \(\rm DC\)는 한 평면 위에 있다. 그리고 \(\rm \angle ABD=\angle BDC=90^\circ\)이다. 따라서 두 직선 \(\rm AB\), \(\rm CD\)는 평행하다. [I권 명제 28]

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그러므로 서로 다른 두 직선이 한 평면에 둘 다 수직이면 두 직선은 서로 평행하다.

Q.E.D.