증명

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두 직선 $\mathrm{A}\mathrm{B}$, $\mathrm{C}\mathrm{D}$가 한 평면에 수직이다.

그러면, 두 직선 $\mathrm{A}\mathrm{B}$, $\mathrm{C}\mathrm{D}$는 서로 평행하다는 것을 보이자.

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두 직선 $\mathrm{A}\mathrm{B}$, $\mathrm{C}\mathrm{D}$가 한 평면과의 교점을 각각 $\mathrm{B}$, $\mathrm{D}$라고 하자.

선분 $\mathrm{B}\mathrm{D}$를 그리자. 직선 $\mathrm{B}\mathrm{D}$와 수직이면서 평면 위에 있는 직선 $\mathrm{D}\mathrm{E}$를 $\overline{\mathrm{D}\mathrm{E}}=\overline{\mathrm{A}\mathrm{B}}$가 되도록 그리자. [I권 명제 3] 세 직선 $\mathrm{B}\mathrm{E}$, $\mathrm{A}\mathrm{E}$, $\mathrm{A}\mathrm{D}$를 그리자.

직선 $\mathrm{A}\mathrm{B}$는 평면과 수직이므로 직선과 평면의 교점 $\mathrm{B}$를 지나는 평면 위에 모든 직선은 직선 $\mathrm{A}\mathrm{B}$와 수직이다. [XI권 정의 3]

그러나 두 직선 $\mathrm{B}\mathrm{D}$, $\mathrm{B}\mathrm{E}$ 각각 평면 위에 있으면서 직선 $\mathrm{A}\mathrm{B}$와 만난다. 그러므로 $\mathrm{\angle }\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{D}=\mathrm{\angle }\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{E}={90}^{\circ }$이다. 같은 이유로 $\mathrm{\angle }\mathrm{C}\mathrm{D}\mathrm{B}=\mathrm{\angle }\mathrm{C}\mathrm{D}\mathrm{E}={90}^{\circ }$이다.

두 삼각형 $\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{D}$, $\mathrm{B}\mathrm{D}\mathrm{E}$는 $\overline{\mathrm{A}\mathrm{B}}=\overline{\mathrm{D}\mathrm{E}}$, $\overline{\mathrm{B}\mathrm{D}}$는 공통, $\mathrm{\angle }\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{D}=\mathrm{\angle }\mathrm{B}\mathrm{D}\mathrm{E}={90}^{\circ }$이므로 합동이다.(SAS 합동) [I권 명제 4] 그러므로 $\overline{\mathrm{A}\mathrm{D}}=\overline{\mathrm{B}\mathrm{E}}$이다.

그런데 $\overline{\mathrm{A}\mathrm{B}}=\overline{\mathrm{D}\mathrm{E}}$, $\overline{\mathrm{A}\mathrm{D}}=\overline{\mathrm{B}\mathrm{E}}$ 이므로 $\overline{\mathrm{A}\mathrm{B}}=\overline{\mathrm{E}\mathrm{D}}$, $\overline{\mathrm{B}\mathrm{E}}=\overline{\mathrm{D}\mathrm{A}}$이다. 그리고 $\overline{\mathrm{A}\mathrm{E}}$는 공통이다. 따라서 두 삼각형 $\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{E}$, $\mathrm{B}\mathrm{D}\mathrm{E}$는 합동이다.(SSS 합동) [I권 명제 8] 따라서 $\mathrm{\angle }\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{E}=\mathrm{\angle }\mathrm{E}\mathrm{D}\mathrm{A}$이다.

그런데 $\mathrm{\angle }\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{E}={90}^{\circ }$이므로 $\mathrm{\angle }\mathrm{E}\mathrm{D}\mathrm{A}={90}^{\circ }$이다. 그러므로 두 직선 $\mathrm{E}\mathrm{D}$, $\mathrm{D}\mathrm{A}$는 수직으로 만난다.

그런데 직선 $\mathrm{E}\mathrm{D}$는 두 직선 $\mathrm{B}\mathrm{D}$, $\mathrm{D}\mathrm{C}$와 수직으로 만난다. 그러므로 한 점 $\mathrm{D}$에서 만나는 세 직선 $\mathrm{B}\mathrm{D}$, $\mathrm{D}\mathrm{A}$, $\mathrm{D}\mathrm{C}$에 수직이 되도록 직선 $\mathrm{E}\mathrm{D}$를 그렸다. 따라서 세 직선 $\mathrm{B}\mathrm{D}$, $\mathrm{D}\mathrm{A}$, $\mathrm{D}\mathrm{C}$는 한 평면 위에 있다. [XI권 명제 5]

그런데 두 직선 $\mathrm{D}\mathrm{B}$, $\mathrm{D}\mathrm{A}$가 어떤 평면 위에 있으면 직선 $\mathrm{A}\mathrm{B}$도 그 평면 위에 있다. [XI권 명제 2]

따라서 세 직선 $\mathrm{A}\mathrm{B}$, $\mathrm{B}\mathrm{D}$, $\mathrm{D}\mathrm{C}$는 한 평면 위에 있다. 그리고 $\mathrm{\angle }\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{D}=\mathrm{\angle }\mathrm{B}\mathrm{D}\mathrm{C}={90}^{\circ }$이다. 따라서 두 직선 $\mathrm{A}\mathrm{B}$, $\mathrm{C}\mathrm{D}$는 평행하다. [I권 명제 28]

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그러므로 서로 다른 두 직선이 한 평면에 둘 다 수직이면 두 직선은 서로 평행하다.

Q.E.D.