증명

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정육면체 \(\rm AGHB-CEFD\)의 마주보는 두 면 \(\rm CEFD\), \(\rm AGHB\)의 각각 변들의 중점을 \(\rm K\), \(\rm L\), \(\rm M\), \(\rm O\), \(\rm Q\), \(\rm P\), \(\rm R\)이라고 하자. 네 점 \(\rm K\), \(\rm L\), \(\rm M\), \(\rm N\)을 지나는 평면 \(\rm KLNM\), 네 점 \(\rm O\), \(\rm P\), \(\rm R\), \(\rm Q\)를 지나는 평면 \(\rm OPRQ\)을 작도하자. 이 두 평면 \(\rm KLNM\), \(\rm OPRQ\)의 교선 \(\rm US\)이라고 하자. 정육면체 \(\rm AGHB-CEFD\)의 대각선을 \(\rm DG\)라고 하자. 두 직선 \(\rm US, DG의 교점을 \(\rm T\)라고 하자.

그러면 두 선분 \(\rm UT\), \(\rm TS\)는 \(\overline{\rm UT}=\overline{\rm TS}\)이고 두 선분 \(\rm DT\), \(\rm TG\)도 \(\overline{\rm DT}=\overline{\rm TG}\)임을 보이자.

선분 \(\rm DU\), \(\rm UE\), \(\rm BS\), \(\rm SG\)를 그리자.

그러면 두 선분 \(\rm DO\), \(\rm PE\)은 평행하기 때문에, 엇각 \(\rm DOU\), \(\rm UPE\)는 \(\rm\angle DOU=\angle UPE\)이다. [I권 명제 29]

\(\overline{\rm DO}=\overline{\rm PE}\), \(\overline{\rm OU}=\overline{\rm UP}\), \(\rm\angle DOU=\angle EPU\)이므로 나머지 한 변인 \(\rm DO\), \(\rm UE\)는 \(\overline{\rm DO}=\overline{\rm UE}\)이다. [I권 명제4] 그러므로 두 삼각형 \(\rm DOU\), \(\rm PUE\)는 합동이다. 그러므로 나머지 각들도 모두 같다. 따라서 \(\rm\angle OUD=\angle PUE\)이다.

그러므로 점 \(\rm D\), \(\rm U\), \(\rm E\)는 일직선 위에 있다. [I권 명제14] 같은 이유로 점 \(\rm B\), \(\rm S\), \(\rm G\)는 일직선 위에 있고, \(\overline{\rm BS}=\overline{\rm SG}\)이다.

두 선분 \(\rm CA\), \(\rm DB\)는 평행하고 \(\overline{\rm CA}=\overline{\rm DB}\)이고, 두 선분 \(\rm CA\), \(\rm EG\) 또한 평행하고 \(\overline{\rm CA}=\overline{\rm EG}\)이므로 두 선분 \(\rm DB\), \(\rm EG\)도 평행하고 \(\overline{\rm DB}=\overline{\rm EG}\)이다. [XI권 명제9]

두 선분 \(\rm DB\), \(\rm EG\)의 끝점들을 이은 선분 \(\rm DE\), \(\rm BG\)이다. 그러므로 두 선분 \(\rm DE\), \(\rm BG\)도 평행하다. [I권 명제33]

그러므로 두 각 \(\rm EDT\), \(\rm BFT\)는 엇각이므로 \(\rm\angle EDT=\angle BFT\)이다. [1권 명제29] 그리고 \(\rm\angle DTU=\angle GTS\)이다. [1권 명제15]

그러므로 두 삼각형 \(\rm DTU\)와 \(\rm GTS\)는 대응하는 두 각과 한 변의 길이가 같아서 합동이다.(ASA 합동) [1권 명제26] 따라서 \(\overline{\rm DU}=\frac12\overline{\rm DE}=\frac12\overline{\rm BG}=\overline{\rm GS}\)이므로 \(\overline{\rm DU}=\overline{\rm GS}\)이다. 그러므로 나머지 변들도 나머지 변들과 길이가 같다. 따라서 \(\overline{\rm DT}=\overline{\rm TS}\), \(\overline{\rm UT}=\overline{\rm TS}\)이다.

그러므로 정육면체의 마주보는 면들의 변들의 중점을 지나는 두 평면의 교선은 정육면체의 대각선과 서로를 이등분한다.

Q.E.D.