XI 권
명제
네 개의 평행육면체에서 두 입체의 대응하는 한 변의 길이의 비가 다른 두 입체의 대응하는 한 변의 길이의 비와 같으면 두 입체의 부피의 비가 다른 두 입체의 부피의 비와 같다. 역으로 닮음도형인 네 개의 평행육면체에서 두 입체의 부피의 비가 다른 두 입체의 부피의 비와 같으면 두 입체의 대응하는 한 변의 길이의 비가 다른 두 입체의 대응하는 한 변의 길이의 비와 같다.
네 선분 \(\rm AB\), \(\rm CD\), \(\rm EF\), \(\rm GH\)가 \(\overline{\rm AB}:\overline{\rm CD}=\overline{\rm EF}:\overline{\rm GH}\)이라고 하자. 그리고 선분 \(\rm AB\), \(\rm CD\), \(\rm EF\), \(\rm GH\)를 각각 한 변으로 하는 닮은꼴의 평행육면체를 각각 \(\rm ABIJ-POKQ\), \(\rm CDRS-UTLV\), \(\rm EFWX-XYMa\), \(\rm GHbc-edNf\)라고 하자. 그러면 (평행육면체 \(\rm ABIJ-POKQ\) 부피) \(:\) (평행육면체 \(\rm CDRS-UTLV\) 부피) \(=\) (평행육면체 \(\rm EFWX-XYMa\) 부피) \(:\) (평행육면체 \(\rm GHbc-edNf\) 부피)이다.
역으로 네 선분 \(\rm AB\), \(\rm CD\), \(\rm EF\), \(\rm GH\)을 한 변으로 하는 닮음인 네 개의 평행육면체를 각각 \(\rm ABIJ-POKQ\), \(\rm CDRS-UTLV\), \(\rm EFWX-XYMa\), \(\rm GHbc-edNf\)이라고 하자. 이들 부피가 (평행육면체 \(\rm ABIJ-POKQ\) 부피) \(:\) (평행육면체 \(\rm CDRS-UTLV\) 부피) \(=\) (평행육면체 \(\rm EFWX-XYMa\) 부피) \(:\) (평행육면체 \(\rm GHbc-edNf\) 부피)이라고 하자. 그러면 네 선분 \(\rm AB\), \(\rm CD\), \(\rm EF\), \(\rm GH\)의 길이의 비는 \(\overline{\rm AB}:\overline{\rm CD}=\overline{\rm EF}:\overline{\rm GH}\)이다.
네 선분 \(\rm AB\), \(\rm CD\), \(\rm EF\), \(\rm GH\)가 \(\overline{\rm AB}:\overline{\rm CD}=\overline{\rm EF}:\overline{\rm GH}\)이라고 하자. 그리고 선분 \(\rm AB\), \(\rm CD\), \(\rm EF\), \(\rm GH\)를 각각 한 변으로 하는 닮은꼴의 평행육면체를 각각 \(\rm ABIJ-POKQ\), \(\rm CDRS-UTLV\), \(\rm EFWX-XYMa\), \(\rm GHbc-edNf\)라고 하자.
그러면 (평행육면체 \(\rm ABIJ-POKQ\) 부피) \(:\) (평행육면체 \(\rm CDRS-UTLV\) 부피) \(=\) (평행육면체 \(\rm EFWX-XYMa\) 부피) \(:\) (평행육면체 \(\rm GHbc-edNf\) 부피)이라는 것을 보이자.
평행육면체 \(\rm ABIJ-POKQ\)와 평행육면체 \(\rm CDRS-UTLV\)가 닮은꼴이므로,
(평행육면체 \(\rm ABIJ-POKQ\)의 부피) \(:\) (평행육면체 \(\rm CDRS-UTLV\) 부피) \(=\) \({\overline{\rm AB}}^3\) : \({\overline{\rm CD}}^3\)
가 성립한다. [11권 정리33] 같은 이유로
(평행육면체 \(\rm EFWX-XYMa\) 부피) : (평행육면체 \(\rm GHbc-edNf\) 부피) \(=\) \({\overline{\rm EF}}^3\) : \({\overline{\rm GH}}^3\)
가 성립한다. 그런데 \(\overline{\rm AB}:\overline{\rm CD}=\overline{\rm EF}:\overline{\rm GH}\) 이므로
(평행육면체 \(\rm ABIJ-POKQ\) 부피) \(:\) (평행육면체 \(\rm CDRS-UTLV\) 부피) \(=\) (평행육면체 \(\rm EFWX-XYMa\) 부피) \(:\) (평행육면체 \(\rm GHbc-edNf\) 부피)
가 성립한다.
2) 역으로, (평행육면체 \(\rm ABIJ-POKQ\) 부피) \(:\) (평행육면체 \(\rm CDRS-UTLV\) 부피) \(=\) (평행육면체 \(\rm EFWX-XYMa\) 부피) \(:\) (평행육면체 \(\rm GHbc-edNf\) 부피)가 성립한다고 하자.
(평행육면체 \(\rm ABIJ-POKQ\) 부피) \(:\) (평행육면체 \(\rm CDRS-UTLV\) 부피) \(={\overline{\rm AB}}^3:{\overline{\rm CD}}^3\) [11권 정리33]이고, (평행육면체 \(\rm EFWX-XYMa\) 부피) \(:\) (평행육면체 \(\rm GHbc-edNf\) 부피) \(={\overline{\rm EF}}^3:{\overline{\rm GH}}^3\)이다. [11권 정리33] 따라서
(평행육면체 \(\rm ABIJ-POKQ\) 부피) \(:\) (평행육면체 \(\rm CDRS-UTLV\) 부피) \(=\) (평행육면체 \(\rm EFWX-XYMa\) 부피) \(:\) (평행육면체 \(\rm GHbc-edNf\) 부피)이므로 \(\overline{\rm AB}:\overline{\rm CD}=\overline{\rm EF}:\overline{\rm GH}\)이다.
그러므로 네 개의 평행육면체에서 두 입체의 대응하는 한 변의 길이의 비가 다른 두 입체의 대응하는 한 변의 길이의 비와 같으면 두 입체의 부피의 비가 다른 두 입체의 부피의 비와 같다. 역으로 닮음도형인 네 개의 평행육면체에서 두 입체의 부피의 비가 다른 두 입체의 부피의 비와 같으면 두 입체의 대응하는 한 변의 길이의 비가 다른 두 입체의 대응하는 한 변의 길이의 비와 같다.
Q.E.D.
이 명제는 평행육면체 부피 이론을 완성한다.
이 명제의 증명에서 두 비율이 동일하다의 필요충분조건은 삼중 비율이 동일하다는 것을 가정한다. 요구되는 증명은 길고 상세하지만 어렵지 않다.