증명

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두 평행육면체 \(\rm AEGX-VHBW\), \(\rm CFNT-SRDU\)은 닮음이고, 변 \(\rm AE\)가 변 \(\rm CF\)에 대응한다.

그러면 (입체도형 \(\rm AEGX-VHBW\) 부피) \(:\) (입체도형 \(\rm CFNT-SRDU\) 부피) \(=\) \({\overline{\rm AE}}^3 :{\overline{\rm CF}}^3 \) 임을 보이자.

선분들 \(\rm AE\), \(\rm GE\), \(\rm HE\)를 길게 늘여서 \(\overline{\rm EK}=\overline{\rm CF}\), \(\overline{\rm EL}=\overline{\rm FN}\), \(\overline{\rm EM}=\overline{\rm FR}\)이 되도록 선분 \(\rm EK\), \(\rm EL\), \(\rm EM\)을 그리자. [I권 명제 3] 그리고 평행사변형 \(\rm KELb\)과 입체도형 \(\rm KELb-cMPa\)를 작도하여라. [I권 명제 31]

\(\overline{\rm DE}=\overline{\rm CF}\), \(\overline{\rm EL}=\overline{\rm FN}\)이다. 또한 두 평행육면체 \(\rm AEGX-VHBW\), \(\rm CFNT-SRDU\)은 닮음이어서 \(\rm\angle AEG=\angle CFN\)이다. 따라서 \(\rm\angle KEL=\angle CFN\)이다. 그러므로 두 평행사변형 \(\rm KELb\), \(\rm CFNT\)는 닮음이다. 같은 이유로 두 평행사변형 \(\rm KEMc\), \(\rm CFRS\)는 닮음이고 두 평행사변형 \(\rm EMPL\), \(\rm DNFR\)도 닮음이다.

그러므로 두 평행육면체 \(\rm KELb-cMPa\), \(\rm CFNT-SRDU\)은 닮음이다. 그런데 평행육면체 \(\rm KELb-cMPa\)의 세 평행사변형 \(\rm KELb\), \(\rm KEMc\), \(\rm EMPL\)은 각각 평행육면체의 세 평행사변형 \(\rm CFNT\), \(\rm CFRS\), \(\rm DNFR\)과 닮음이다. [XI권 명제 24] 그러므로 두 입체도형 \(\rm KELb-cMPa\), \(\rm CFNT-SRDU\)는 닮음이다. [XI권 정의 10]

평행사변형 \(\rm GEKY\)를 작도하고, 두 입체도형 \(\rm EKYG-HQOB\), \(\rm KELb-cMPa\)은 각각 평행사변형 \(\rm GEKY\), 평행사변형 \(\rm KELb\)를 밑변으로 하고 평행육면체 \(\rm AEGX-VHBW\) 높이 와 같은 입체도형을 작도하여라. [I권 명제 31]

그러면 두 입체도형 \(\rm AEGX-VHBW\), \(\rm CFNT-SRDU\)는 닮음이기 때문에, \(\overline{\rm AE} : \overline{\rm CF} = \overline{\rm EG} : \overline{\rm FN} = \overline{\rm EH} : \overline{\rm FR}\)이다. 그리고 \(\overline{\rm CF}=\overline{\rm EK}\), \(\overline{\rm FN}=\overline{\rm EL}\), \(\overline{\rm FR}=\overline{\rm EM}\)이므로 \( \overline{\rm AE} : \overline{\rm EK} = \overline{\rm GE} : \overline{\rm EL} = \overline{\rm HE} : \overline{\rm EM}\)이다. [XI권 정의 9]

그런데 \(\overline{\rm AE} : \overline{\rm EK} = \) (평행사변형 \(\rm AEGX\) 넓이) \(:\) (평행사변형 \(\rm GEKY\) 넓이)이므로 \( \overline{rm GE}: \overline{\rm EL} = \overline{\rm GK} : \overline{\rm KL} \)이고 \( \overline{\rm HE} : \overline{\rm EM} = \overline{\rm QE} : \overline{\rm KM}\)이다. 그러므로 (평행사변형 \(\rm AEGX\) 넓이) \(:\) (평행사변형 \(\rm GEKY\) 넓이) \(=\) (평행사변형 \(\rm GEKY\) 넓이) \(:\) (평행사변형 \(\rm KEMc\) 넓이)이다. [VI권 명제 1]

(평행사변형 \(\rm AEGX\) 넓이) \(:\) (평행사변형 \(\rm GEKY\) 넓이) \(=\) (입체도형 \(\rm AEGX-VHBW\) 부피) \(:\) (입체도형 \(\rm EKYG-HQOB\) 부피)이고, (평행사변형 \(\rm GEKY\) 넓이) \(:\) (평행사변형 \(\rm KELb\) 넓이) \(=\) (입체도형 \(\rm OBHQ-YGEK\) 부피) \(:\) (입체도형 \(\rm OBZd-YGLb\) 부피)이며, (평행사변형 \(\rm QHEK\) 넓이) \(:\) (평행사변형 \(\rm KEMc\) 넓이) \(=\) (입체도형 \(\rm QHZG-KELb\) 부피) \(:\) (입체도형 \(\rm KELb-cMPa\) 부피) 이므로 (입체도형 \(\rm AEGX-VHBW\) 부피) \(:\) (입체도형 \(\rm EKYG-HQOB\) 부피) \(=\) (입체도형 \(\rm EKYG-HQOB\) 부피) \(:\) (입체도형 \(\rm QHZG-KELb\) 부피) \(=\) (입체도형 \(\rm QHZG-KELb\) 부피) \(:\) (입체도형 \(\rm KELb-cMPa\) 부피)이다. [XI권 명제 32]

그런데 \(a : b = b : c = c : d\) 이면 이다. [V권 정의 10] 그러므로 (입체도형 \(\rm AEGX-VHBW\) 부피) \(:\) (입체도형 (\rm KELb-cMPa\) 부피) \(=\) (입체도형 (\rm AEGX-VHBW\) 부피)³ : (입체도형 (\rm EKYG-HQOB\) 부피)³ 이다.

그런데 (평행육면체 \(\rm AEGX-VHBW\) 부피) \(:\) (평행육면체 \(\rm EKYG-HQOB\) 부피) \(=\) (평행사변형 \(\rm AEGX\) 넓이) \(:\) (평행사변형 \(\rm GEKY\) 넓이) \(= \overline{\rm AE}:\overline{\rm EK} \)이다. [VI권 명제 1] 그러므로 (평행육면체 \(\rm AEGX-VHBW\) 부피) \(:\) (입체도형 \(\rm KELb-cMPa\) 부피) \(={\overline{\rm AE}}^3 :{\overline{\rm EK}}^3 \)이다. 그런데 (입체도형 \(\rm KELb-cMPa\) 부피) \(=\) (입체도형 \(\rm CFNT-SRDU\) 부피)이고, \(\overline{\rm EK}=\overline{\rm CF}\)이다. 따라서 (입체도형 \(\rm KELb-cMPa\) 부피) \(=\) (입체도형 \(\rm CFNT-SRDU\) 부피)\( = {\overline{\rm AE}}^3:{\overline{\rm CF}}^3 \)이다.

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그러므로 닮음인 두 평행육면체는 부피의 비율은 대응하는 변들의 길이의 세 제곱의 비율이다.

Q.E.D.