증명

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첫 번째로 다음을 증명하자.

두 평행육면체 \(\rm ALBH-GMEK\)와 \(\rm CRDP-OSFQ\)은 두 밑면 \(\rm ALBH\)와 \(\rm CRDP\)의 넓이가 같고 각각의 높이 AG와 CO의 길이는 \(\overline{\rm AG}=\overline{\rm CO}\)이다.

그러면 두 평행육면체 \(\rm ALBH-GMEK\)와 \(\rm CRDP-OSFQ\)의 부피가 같음을 보이자.

처음으로, 기준 평면과 한 점에서 만나는 변 \(\rm HK\), \(\rm BE\), \(\rm AG\), \(\rm LM\), \(\rm PG\), \(\rm DF\), \(\rm CO\), \(\rm RS\)가 밑면 \(\rm ALBH\), \(\rm CRDP\)에 수직이라고 하자. 선분 \(\rm CR\)을 길게 늘여서 선분 \(\rm RT\)를 그리자. \(\rm\angle TRU = \angle ALB\)인 점 \(\rm R\)을 시작점으로 하고 기준선을 반직선 \(\rm RT\)인 각 \(\rm TRU\)를 작도하자. [I권 명제 23] \(\overline{\rm RT}=\overline{\rm AL}\)이 되도록 선분 RT를 그리고, \(\overline{\rm RU}=\overline{\rm LB}\)가 되도록 선분 \(\rm RU\)를 그리자.[I권 명제 3] 그리고 밑면 \(\rm RUWT\)와 입체도형 \(\rm XVdS-TWUR\)을 작도하자.[I권 명제 31]

두 평행사변형 \(\rm RUWT\)와 \(\rm ALBH\)는 \(\overline{\rm RT}=\overline{\rm AL}\), \(\overline{\rm RU}=\overline{\rm LB}\), \(\rm\angle TRU=\angle ALB\)이므로 두 평행사변형 \(\rm RUWT\)와 \(\rm ALBH\)는 합동이다. 두 평행사변형 \(\rm RTXS\)와 \(\rm ALMG\)은 \(\overline{\rm AL}=\overline{\rm RT}\), \(\overline{\rm LM}=\overline{\rm RS}\), \(\rm\angle ALM=\angle RTX=90^\circ\)이므로 \(\rm RTXS\)와 \(\rm ALMG\)는 합동이다. 같은 이유로, 두 평행사변형 \(\rm LMEB\)와 \(\rm UdSR\)은 합동이다.

그러므로 입체도형 \(\rm AGKB-LMEH\)의 세 평행사변형 \(\rm ALBH\), \(\rm ALMG\), \(\rm LMEB\)는 각각 입체도형 \(\rm XSdV-TRUW\)의 세 평행사변형 \(\rm RUWT\), \(\rm RTXS\), \(\rm UdSR\)과 합동이다. 또한 두 입체도형의 나머지 세 평행사변형들은 각각 마주보고 있는 평행사변형들과 합동이다.[XI권 명제 24] 그러므로 두 입체도형 \(\rm AGKB-LMEH\)와 \(\rm XSdV-TRUW\)은 합동이고 (입체도형 \(\rm AGKB-LMEH\) 부피) \(\rm =\) (입체도형 \(\rm XSdV-TRUW\) 부피)이다. [XI권 정의 10]

두 선분 \(\rm DR\), \(\rm WU\)를 길게 늘여서 교점을 점 \(\rm Y\)이라고 하고, 선분 \(\rm DY\)에 평행하고 점 \(\rm T\)를 지나는 선분 \(\rm aTb\)를 그리자. 그리고 선분 \(\rm PD\)를 점 \(\rm a\)까지 길게 늘여 선분 \(\rm Pa\)를 그리자. 두 입체도형 \(\rm YbTR-ecXS\), \(\rm RTaD-SXIF\)를 작도하여라. [I권 명제 31]

그러면 입체도형 \(\rm XceS-TbYR\)과 \(\rm XVdS-TWUR\)에서 입체도형 \(\rm XceS-TbYR\)의 밑면인 평행사변형 \(\rm RTXS\)의 마주보고 있는 면이 평행사변형 \(\rm Ybce\)이고, 입체도형 \(\rm XVdS-TWUR\)의 밑면인 평행사변형 \(\rm RTXS\)의 마주보고 있는 면이 평행사변형 \(\rm UWVd\)이므로 두 입체도형 \(\rm XceS-TbYR\)과 \(\rm XVdS-TWUR\)은 밑면 \(\rm XTRS\)이 공통이고 높이가 \(\overline{\rm Se}\)로 같다. 따라서 두 입체도형 \(\rm XceS-TbYR\)과 \(\rm XVdS-TWUR\)의 합동이고 (입체도형 \(\rm XceS-TbYR\) 부피) \(=\) (입체도형 \(\rm XVdS-TWUR\) 부피)가 같다. 그리고 기준평면과 한 점에서 만나는 변들의 끝 점들 즉, 변 \(\rm RY\), \(\rm RU\), \(\rm Tb\), \(\rm TW\), \(\rm Se\), \(\rm Sd\), \(\rm Xc\), \(\rm XV\)의 끝점들은 직선 \(\rm YW\)와 직선 \(\rm eV\) 위에 각각 놓여 있다. [XI권 명제 29] 두 입체도형 \(\rm XVdS-TWUR\), \(\rm ALBH-GMEK\)는 (입체도형 \(\rm XVdS-TWUR\) 부피) \(=\) (입체도형 \(\rm ALBH-GMEK\) 부피)이므로 따라서 두 입체도형 \(\rm XceS-TbYR\), \(\rm ALBH-GMEK\)도 (입체도형 \(\rm XceS-TbYR\) 부피) \(=\) (입체도형 \(\rm ALBH-GMEK\) 부피)이다.

그리고 두 평행사변형 \(\rm RUWT\), \(\rm YbTR\)은 같은 밑변 \(\rm RT\)로 같고 두 평행선 \(\rm RT\)와 \(\rm YW\)을 가지므로 (평행사변형 \(\rm RUWT\) 넓이) \(=\) (평행사변형 \(\rm YbTR\)넓이)이다. [I권 몇제 35] 그런데 두 평행사변형 \(\rm RUWT\), \(\rm CRDP\)는 평행사변형 \(\rm ALBH\)과 (평행사변형 \(\rm RUWT\) 넓이) \(=\) (평행사변형 \(\rm CRDP\) 넓이) \(=\) (평행사변형 \(\rm ALBH\) 넓이)이므로 두 평행사변형 \(\rm RUWT\)와 \(\rm CRDP\)은 (평행사변형 \(\rm RUWT\) 넓이) \(=\) (평행사변형 \(\rm CRDP\) 넓이)이다. 그러므로 두 평행사변형 \(\rm YbTR\), \(\rm CRDP\)도 (평행사변형 \(\rm YbTR\) 넓이) \(=\) (평행사변형 \(\rm CRDP\) 넓이)이다.

그런데 사각형 \(\rm DRTa\)도 또 다른 평행사변형이므로 (평행사변형 \(\rm CRDP\) 넓이) \(:\) (평행사변형 \(\rm DRTa\) 넓이) \(=\) (평행사변형 \(\rm YbTR\) 넓이) \(:\) (평행사변형 \(\rm DRTa\) 넓이) 이다.[V권 명제 7]

평행육면체 \(\rm CTaP-OXIQ\)를 평면 \(\rm RSFD\)로 잘랐는데, 이 평면은 이 평행육면체의 양쪽 면 \(\rm COQP\), \(\rm TXIa\)와 평행하므로, (밑면 \(\rm CRDP\) 넓이) \(:\) (밑면 \(\rm RTaD\) 넓이) \(=\) (입체도형 \(\rm CRDP-OSFQ\) 부피) \(:\) (입체도형 \(\rm RTaD-SXIF\) 부피) 이다.[XI권 명제 25] 같은 방법으로, 평행육면체 \(\rm YbaD-ecIF\)를 평면 \(\rm RTXS\)로 자르면, 이 평면은 이 평행육면체 양쪽 면 \(\rm Ybce\), \(\rm DaIF\)와 평행하므로 (밑면 \(\rm YbTR\) 넓이) \(:\) (밑면 \(\rm TaDR\) 넓이) = (입체도형 \(\rm YbTR-ecXS\) 부피) \(:\) (입체도형 \(\rm RTaD-SXIF\) 부피) 이다.

그런데 두 밑변 \(\rm CRDP\), \(\rm DRTa\)과 두 밑변 \(\rm YbTR\), \(\rm DRTa\)의 넓이의 비율은 같아 (평행사변형 \(\rm CRDP\) 넓이) \(:\) (평행사변형 \(\rm DRTa\) 넓이) \(=\) (평행사변형 \(\rm YbTR\) 넓이) \(:\) (평행사변형 \(\rm DRTa\) 넓이)이다. [V권 명제 11]

그러므로 두 입체도형 \(\rm CRDP-OSFQ\), \(\rm RTaD-SXIF\) 부피와 입체도형 \(\rm YbTR-ecXS\), \(\rm RTaD-SXIF\)의 부피의 비율이 같아 (입체도형 \(\rm CRDP-OSFQ\) 부피) \(:\) (입체도형 \(\rm RTaD-SXIF\) 부피) \(=\) (입체도형 \(\rm YbTR-ecXS\) 부피) \(:\) (입체도형 \(\rm RTaD-SXIF\) 부피)이다. 그러므로 두 입체도형 \(\rm CRDP-OSFQ\), \(\rm YbTR-ecXS\)의 부피가 같아 (입체도형 \(\rm CRDP-OSFQ\) 부피) \(=\) (입체도형 \(\rm YbTR-ecXS\) 부피)이다. 그러나 (입체도형 \(\rm YbTR-ecXS\) 부피) \(=\) (입체도형 \(\rm ALBH-GMEK\) 부피)이므로 (입체도형 \(\rm ALBH-GMEK\) 부피) = (입체도형 \(\rm CRDP-OSFQ\) 부피)이다. [V권 명제 9]

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다음으로 기준평면에서 한 점에서 만나는 변 \(\rm AG\), \(\rm HK\), \(\rm BE\), \(\rm LM\), \(\rm CN\), \(\rm PQ\), \(\rm DF\), \(\rm RS\)가 밑변 \(\rm ALBH\), \(\rm CRDP\)와 수직이 아니라고 하자.

그러면 다시 두 입체도형 \(\rm AHBL-GKEM\), \(\rm CRDP-NSFQ\)의 부피가 같음을 보이자.

점 \(\rm K\), \(\rm E\), \(\rm G\), \(\rm M\), \(\rm Q\), \(\rm F\), \(\rm N\), \(\rm S\)에서 밑면에 수직이 되도록 선분 \(\rm KO\), \(\rm ET\), \(\rm GU\), \(\rm MV\), \(\rm QW\), \(\rm FX\), \(\rm NY\), \(\rm SI\)를 그리자. 그리고 이들의 밑면과 맞은편에 있는 면(기준평면)과 만나는 점을 점 \(\rm O\), \(\rm T\), \(\rm U\), \(\rm V\), \(\rm W\), \(\rm X\), \(\rm Y\), \(\rm I\)이라고 하자. 그리고 선분 \(\rm OT\), \(\rm OU\), \(\rm UV\), \(\rm TV\), \(\rm WX\), \(\rm WY\), \(\rm YI\), \(\rm IX\)를 그리자. [XI권 명제 11]

그러면 두 입체도형 \(\rm KEMG-OTVU\), \(\rm QNSF-WYIX\)은 이들 (밑면 \(\rm KGME\) 넓이) \(=\) (밑면 \(\rm QNSF\) 넓이)이고, 이들 입체도형의 높이가 같으며, 이들의 변들은 밑면과 수직이기 때문에 두 입체도형 \(\rm KEMG-OTVU\), \(\rm QNSF-WYIX\)의 부피는 (입체도형 \(\rm KEMG-OTVU\) 부피) \(=\) (입체도형 \(\rm QNSF-WYIX\) 부피)이다. [이 명제 앞부분에서]

그러나 두 입체도형 \(\rm KEMG-OTVU\), \(\rm ALBH-GMEK\)은 같은 밑면을 가지고 있고 높이가 같으며 변들의 끝 점들은 같은 직선에 놓이지 않기 때문에 (입체도형 \(\rm KEMG-OTVU\) 부피) \(=\) (입체도형 \(\rm ALBH-GMEK\) 부피)이며, 두 입체도형 \(\rm QNSF-WYIX\), \(\rm CRDP-NSFQ\)도 같은 이유로 (입체도형 \(\rm QNSF-WYIX\) 부피) \(=\) (입체도형 \(\rm CRDP-NSFQ\) 부피)이다. [XI권 명제 30]

그러므로 두 입체도형 \(\rm ALBH-GMEK\), \(\rm CRDP-OSFQ\)은 (입체도형 \(\rm ALBH-GMEK\) 부피) \(=\) (입체도형 \(\rm CRDP-OSFQ\) 부피)이다.

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따라서 밑면의 넓이가 같고 높이가 같은 평행육면체들의 부피는 같다.

Q.E.D.