XI 권
명제
두 직선이 서로 만나면 이 두 직선은 한 평면 위에 있으며, 모든 삼각형은 한 평면 위에 있다.
두 직선 \(\rm AB\), \(\rm CD\)가 점 \(\rm E\)에서 만나면 두 직선 \(\rm AB\), \(\rm CD\)는 한 평면 위에 있으며, 모든 삼각형은 한 평면 위에 있다.
두 직선 \(\rm AB\), \(\rm CD\)가 점 \(\rm E\)에서 만나다고 가정하자.
그러면, 두 직선 \(\rm AB\), \(\rm CD\)는 한 평면 위에 있으며, 모든 삼각형은 한 평면 위에 있음을 보이자.
두 직선 \(\rm AB\), \(\rm CD\)가 점 \(\rm E\)에서 만나다고 하자.
두 직선 \(\rm EC\), \(\rm EB\) 위의 임의의 점을 각각 \(\rm F\), \(\rm G\)라고 하자. 두 직선 \(\rm CB\), \(\rm FG\)를 그리자. 그리고 두 점 \(\rm F\), \(\rm G\)를 지나는 직선이 선분 \(\rm CB\)와 교점을 갖도록 두 직선 \(\rm FH\), \(\rm GK\)를 가로질러 그리자.
1) 삼각형 \(\rm ECB\)가 한 평면 위에 있음을 보이자.
만약 삼각형 \(\rm ECB\)의 일부분 즉 삼각형 \(\rm FHC\) 또는 삼각형 \(\rm GBK\) 중 하나가 한 평면 위에 있고 다른 하나는 다른 평면 위에 있으면 직선 \(\rm EC\) 또는 직선 \(\rm EB\)의 일부분은 한 평면에 위에 있고 나머지 부분은 다른 평면 위에 있다.
만약 삼각형 \(\rm ECB\)에서 일부분 사각형 \(\rm FCBG\)가 한 평면 위에 있고, 나머지 부분이 다른 평면 위에 있으면 두 직선 \(\rm EC\), \(\rm EB\)의 일부분은 한 평면 위에 있고 나머지 부분은 다른 평면 위에 있다. 그러나 이것은 불가능 하다. [XI권 명제 1]
그러므로 삼각형 \(\rm ECB\)는 한 평면 위에 있다.
2)두 직선 \(\rm AB\), \(\rm CD\)가 한 평면 위에 있음을 보이자.
삼각형 \(\rm ECB\)가 어떤 평면 위에 있든 두 직선 \(\rm EC\), \(\rm EB\)는 같은 평면 위에 있다. 그리고 두 직선 \(\rm EC\), \(\rm EB\)가 어떤 평면 위에 있든 두 직선 \(\rm AB\), \(\rm CD\)는 그 평면 위에 있다. [XI권 명제 1]
그러므로 두 직선 \(\rm AB\), \(\rm CD\)는 한 평면 위에 있다.
따라서 두 직선 \(\rm AB\), \(\rm CD\)는 한 평면 위에 있으며 모든 삼각형은 한 평면 위에 있다.
그러므로 두 직선이 서로 만나면 이 두 직선은 한 평면 위에 있으며, 모든 삼각형은 한 평면 위에 있다.
Q.E.D.
이 명제 증명의 목적은 두 직선 \(\rm AB\)와 \(\rm CD\)를 포함하는 평면을 만드는 것이다. 그러나 그 증명는 어떤 평면도 만들지 못한다. 시작 부분에는 "기준 평면(the plane of reference)"이라는 문구가 존재하지만, 평면이 언급되지 않았기 때문에 기존 평면은 없다. 두 직선 \(\rm AB\)와 \(\rm CD\)가 공간 어디에나 놓여질 수 있기 때문에, 이전에 구상된 어떤 평면도 그것들과 무관할 것이다.
평면의 존재를 정당화하기 위해서는 어떤 종류의 가설이 필요하다. 서로 다른 세 개의 점이 평면을 결정한다고 말할 수 있다. 다른 하나는 동일한 평면에 있지 않은 네 개의 점이 있다는 것이다.
이 명제는 [XI권 명제 4], [XI권 명제 6], [XII권 명제 17]의 증명에서 사용된다.