XI 권
명제
평행육면체는 마주보는 두 면의 대각선들을 포함하는 평면으로 자르면 부피가 이등분된다.
평행육면체 \(\rm AGCD-EFBH\)에 대하여, 마주보는 면의 \(\rm ADHE\), \(\rm GCBF\)의 각각의 대각선 \(\rm CF\), \(\rm DE\)를 포함하는 평면 \(\rm CDEF\)로 평행육면체를 자르면, 평행육면체 \(\rm AGCD-EFBH\)의 부피를 이등분한다.
평행육면체 \(\rm AGCD-EFBH\)에 대하여, 마주보는 면의 \(\rm ADHE\), \(\rm GCBF\)의 각각의 대각선 \(\rm CF\), \(\rm DE\)를 포함하는 평면 \(\rm CDEF\)로 평행육면체를 자르자.
그러면 평면 \(\rm CDEF\)는 평행육면체 \(\rm AGCD-EFBH\)의 부피를 이등분함을 보이자.
평행사변형 \(\rm CDAG\)와 평행사변형 \(\rm AGCD-EFBH\)는 마주보는 면이므로 두 삼각형 \(\rm CGF\)와 \(\rm CFB\)의 넓이가 같고, 두 삼각형 \(\rm ADE\)와 \(\rm DEH\)도 넓이가 같다. 또한 같은 이유로 평행사변형 \(\rm GFEA\)와 평행사변형 \(\rm CBHD\)의 넓이도 같다. [I권 명제34] 따라서, 두 삼각형 \(\rm CGF\), \(\rm ADE\)와 세 평행사변형 \(\rm EAGF\), \(\rm CDAG\), \(\rm CDEF\)로 둘러싸인 각기둥은 두 삼각형 \(\rm CFB\), \(\rm DEH\)와 세 평행사변형 \(\rm HDCB\), \(\rm BHEF\), \(\rm CDEF\)로 둘러싸인 각기둥과 부피가 같다. 왜냐하면 이들은 같은 개수의 같은 넓이인 평면도형들로 둘러싸여 있기 때문이다.[1I권 정의10]
그러므로 평면 \(\rm CDEF\)는 평행육면체 \(\rm AGCD-EFBH\)의 부피를 이등분한다.
그러므로, 평행육면체는 마주보는 두 면의 대각선들을 포함하는 평면으로 자르면 부피가 이등분된다.
Q.E.D.
이것은 양에 관한 두 번째 명제다. 첫 번째는 XI권 명제 25이다.
증명 시작부터 누락된 사소한 점은 두 개의 대각선 \(\rm CF\)와 \(\rm DE\)가 한 평면에 놓여 있다는 것이지만, 두 선분 \(\rm CF\)와 \(\rm DE\)가 평행하다는 것을 쉽게 알 수 있으므로 [XI권 명제 7]에 의해 두 선분 \(\rm CF\)와 \(\rm DE\)가 확장된 평면에 \(\rm CF\)와 \(\rm DE\)가 놓여 있다.
여기서 증명의 최종 결론은 [XI권 정의 10]에 의해 정당화된다. 두 각기둥의 면이 일치하므로 두 각기둥은 동일하고 닮음이다(즉, 일치한다). 몇몇 저자들은 두 각기둥이 서로 거울에 비친 이미지이며, 한 각기둥이 다른 각기둥과 동시에 움직인다는 의미에서 서로에게 적용될 수 없기 때문에 이러한 결론을 비판해 왔다.
어떤 관점에서 보면 이 비판은 타당하다. 그러나 중첩 방법은 훨씬 더 큰 비판을 받을 수 있다. 현대 기하학에서, 기하학의 방식에 따라, 중첩은 완전히 제거되거나 또는 군 변환 이론을 사용하여 완전히 공식화된다.
이 명제는 이 책의 나머지 부분에서는 사용되지 않지만, 다음 책에서는 삼각형 각기둥을 다루는 몇 가지 명제에 사용된다.