증명

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주어진 선분 \(\rm AB\)와 어떤 평행육면체 \(\rm CEHG-GIDJ\)이 있다.

그러면, 선분 \(\rm AB\)를 포함한 평행육면체 \(\rm CEHG-GIDJ\)와 닮음 평행육면체를 같은 방향에 작도할 수 있다.

주어진 평행육면체 \(\rm CEHG-GIDJ\)의 입체각 \(\rm ECF\), \(\rm ECG\), \(\rm GCF\)을 가진다고 하자. 그러면, \(\rm\angle BHA=\angle ECF\), \(\rm\angle HAK=\angle ECG\), \(\rm\angle KAB=\angle GCF\)인 선분 \(\rm AB\) 위의 한 점 \(\rm A\)에 각 \(\rm\angle BAH\), \(\rm\angle HAK\), \(\rm\angle KAB\)를 가진 입체각을 만들자. [XI권 명제 26] 그리고 선분 \(\rm AB\), \(\rm AK\), \(\rm AH\)의 길이를 \(\overline{\rm AB}:\overline{\rm CE}=\overline{\rm AK}:\overline{\rm CG}\), \(\overline{\rm AK}:\overline{\rm CG}=\overline{\rm AH}:\overline{\rm CF}\)이 되도록 하자. [VI권 명제 12]

그러면 \(\overline{\rm AB}:\overline{\rm CE}=\overline{\rm AH}:\overline{\rm CF}\)이다. [V권 명제 22]

평행사변형 \(\rm HABM\)와 평행육면체 \(\rm ABMH-KNLH\)를 작도하여라.

\(\overline{\rm EC}:\overline{\rm BA}=\overline{\rm CG}:\overline{\rm AK}\)이이서 각 \(\rm ECG\)와 각 \(\rm BAK\)는 \(\overline{\rm EC}:\overline{\rm BA}=\overline{\rm CG}:\overline{\rm AK}=\rm\angle ECG:\angle BAK\)이다. 그러므로 평행사변형 \(\rm GCEH\)와 평행사변형 \(\rm KABN\)는 닮음이다. 같은 이유로 평행사변형 \(\rm KOHA\)와 평행사변형 \(\rm GJFC\)는 닮음이고, 평행사변형 \(\rm FCEI\)와 평행사변형 \(\rm HABM\)는 닮음이다.

그러므로 평행육면체 \(\rm CEHG-GIDJ\)의 세 평행사변형 \(\rm GCEH\), \(\rm GJFC\), \(\rm FCEI\)와 평행육면체 \(\rm ABMH-KNLH\)의 세 평행사변형 \(\rm KABN\), \(\rm KOHA\), \(\rm HABM\)와 각각 각의 크기가 같은 닮음이므로 평행육면체 \(\rm CEHG-GIDJ\)와 \(\rm ABMH-KNLH\)은 닮음이다. [XI권 정의 9] 선분 와 평행육면체 가 있다고 하자. 선분 \(\rm AB\)에 평행육면체 \(\rm CEHG-GIDJ\)와 닮음 평행육면체를 같은 방향에 작도하였다.

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그러므로, 주어진 선분과 어떤 평행육면체에 대하여, 그 선분을 포함한 평행육면체와 닮음 평행육면체를 같은 방향에 작도 할 수 있다.

Q.E.D.