XI 권
명제
직선의 일부분은 평면 위에 있고 일부분은 평면 밖에 있을 수 없다.
직선 \(\rm ABC\)의 반직선 \(\rm BA\)는 평면 \(\alpha\) 위에 있고 반직선 \(\rm BC\)는 평면과 교점인 한 점 \(\rm B\)와 만날 수 없다.
이것이 가능하다면 직선 \(\rm ABC\)의 일부분 반직선 \(\rm BA\)는 평면 위에 있고, 반직선 \(\rm BC\)는 평면과 한 점 \(\rm B\)와 만난다고 하자.
그러면 반직선 \(\rm BA\)와 이어진 어떤 직선이 평면 위에 있다. 그 직선을 \(\rm BD\)라고 하자. 그러므로 반직선 \(\rm BA\)는 두 직선 \(\rm ABC\), \(\rm ABD\)의 공통부분이다. 이것은 불가능하다. 왜냐하면 중심이 \(\rm B\)이고 반지름이 \(\overline{\rm BA}\)인 원을 그리면 지름이 서로 다른 원둘레를 자르기 때문이다. 즉, 두 직선 \(\rm ABC\), \(\rm ABD\)은 서로 다른 원을 각각 자르기 때문이다.
그러므로 직선의 일부분은 평면 위에 있고 일부분은 평면 밖에 있을 수 없다.
Q.E.D.
이 명제의 증명이 불분명할 뿐만 아니라 진술도 불분명하다. "주어진 평면"의 의미와 입체 기하학에서 수행할 역할이 명확하지 않다. 만약 직선의 일부가 평면 위에 있다면, 그 모든 것이 그렇게 된다는 진술의 의도인가? 적어도 그것은 의미 있는 진술이 될 것이다.
이 명제의 증명은 두 가지 이상의 이유로 명확하지 않다. 중심 \(\rm B\)와 반지름 \(\overline{\rm BA}\)인 원을 설명하기 전에, 원을 설명할 평면을 말해야 한다. 공간에는 점 \(\rm A\)를 지나는 동일한 중심 \(\rm B\)와 동일한 반지름 \(\overline{\rm BA}\)인 원은 무수히 많이 있다. 실제로, 동일한 지름을 가진 많은 원들의 가능성은 XI권 정의에서 구를 정의하는데 사용되었다. 이해할 수 없는 원둘레에 대한 마지막 진술은 이해할 수 없다.
문제는 입체 기하학에 대한 가설이 없다는 것이다. 내가 보기에 책의 가정은 주변 평면을 가리키는 것 같다. 확실히 I권 [공리 3], "중심과 반지름이 있는 원을 기술하기 위해서"와 [공리 5](한 직선이 다른 두 직선과 교점을 가질 때 내부 각을 언급함)는 그렇게 한다. 비평면 기하학의 어떤 공리가 없으면 입체 기하학이 평면에서 떨어질 수 없다.
이 명제는 다음 명제의 증명 뿐 만 아니라 원론 마지막 세 권에서도 사용된다.