증명

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어떤 직선 \(\rm AB\)가 기준 평면에 수직이다.

그러면, 직선 \(\rm AB\)를 포함하는 모든 평면은 기준 평면과 수직인 것을 보이자.

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직선 \(\rm AB\)를 포함하는 평면 \(\rm DCE\)와 기준 평면과 만나는 교선을 직선 \(\rm CE\)라고 하자.

직선 \(\rm CE\) 위의 임의의 점 \(\rm F\)를 잡자. 그리고 점 \(\rm F\)를 지나고 평면 \(\rm DCE\) 위의 직선 \(\rm CE\)에 수직인 직선 \(\rm FG\)를 그리자. [I권 명제 11]

그런데 직선 \(\rm AB\)는 기준 평면과 수직이기 때문에 직선 \(\rm AB\)는 기준 평면 위에 있고 직선 \(\rm AB\)와 기준평면과 만나는 점을 지나는 모든 직선과 수직이다. [XI권 정의 3] 그러므로 \(\rm\angle ABF=90^\circ\)이다.

그런데 \(\rm\angle GFB=90^\circ\)이다. 그러므로 직선 \(\rm AB\)는 직선 \(\rm FG\)와 평행하다. [I권 명제 28]

그런데 직선 \(\rm AB\)는 기준 평면과 수직이다. 그러므로 직선 \(\rm FG\)도 역시 기준 평면과 수직이다. [XI권 명제 8]

두 평면의 교선에 수직이 되도록 한 평면에 그려서 그 직선이 다른 평면과 수직이면 두 평면은 서로 수직이다. [XI권 정의 4] 그리고 두 평면의 교선 \(\rm CE\)와 직선 \(\rm FG\)는 수직이 되도록 그렸고 직선 \(\rm FG\)는 한 평면 \(\rm DCE\) 위에 있으며 직선 \(rm FG\)는 기준 평면과 수직인 것을 보였다. 한 평면 \(\rm DCE\) 위에 있고 직선 \(\rm FG\)는 기준 평면과 수직인 것을 보였다. 그러므로 평면 \(\rm DCE\) 는 기준 평면과 수직이다.

같은 방법으로 직선 \(\rm AB\)를 포함하는 모든 평면은 기준 평면과 수직임을 보일 수 있다.

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그러므로 어떤 직선이 기준 평면과 수직이면 그 직선을 포함하는 모든 평면은 기준 평면과 수직이다.

Q.E.D.