증명

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주어진 평면 위에 있지 않은 한 점 \(\rm P\)가 있다.

그러면, 한 점 \(\rm P\)을 지나며 평면에 수직인 직선을 그릴 수 있다는 것을 보이자.

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평면 위의 임의의 직선 \(\rm BC\)를 그리자. 그리고 점 \(\rm A\)를 지나고 직선 \(\rm BC\)에 수직인 직선 \(\rm AD\)를 그리고 그 교점을 점 \(\rm D\)라고 하자. [I권 명제 12]

1) 만약 직선 가 평면에 수직이면 자명하다.

2) 직선 \(\rm AD\)가 평면에 수직이 아니라고 하자. 점 \(\rm D\)를 지나고 직선 \(\rm BC\)에 수직이며 평면 위에 있는 직선 \(\rm DE\)를 그리자. [I권 명제 11] 점 \(\rm A\)를 지나고 직선 \(\rm DE\)에 수직인 직선 \(\rm AF\)를 그리자. [I권 명제 12] 그리고 점 \(\rm F\)를 지나고 직선 \(\rm BC\)에 평행한 직선 \(\rm GH\)를 그리자. [I권 명제 31]

직선 \(\rm BC\)는 두 직선 \(\rm DA\), \(\rm DE\)에 각각 수직이기 때문에 직선 \(\rm BC\)는 역시 두 직선 \(\rm DE\), \(\rm DA\)를 포함하는 평면에 수직이다. [XI권 명제 4]

그리고 직선 \(\rm GH\)는 직선 \(\rm BC\)와 평행하다. 그러나 두 직선이 평행하고 평면에 수직이면 다른 직선도 역시 평면에 수직이다. 그러므로 직선 \(\rm GH\) 역시 두 직선 \(\rm ED\), \(\rm DA\)를 포함하는 평면에 수직이다. [XI권 명제 8]

그러므로 직선 \(\rm GH\) 역시 두 직선 \(\rm ED\), \(\rm DA\)를 포함하는 평면과 직선 \(\rm GH\)와의 교점을 지나며 두 직선 \(\rm ED\), \(\rm DA\)를 포함하는 평면 위에 있는 모든 직선과도 수직이다. [XI권 정의 3]

그런데 직선 \(\rm AF\)는 직선 \(\rm GH\)와 만나며 두 직선 \(\rm ED\), \(\rm DA\)를 포함하는 평면 위에 있기 때문에 직선 \(\rm GH\)는 직선 \(\rm FA\)와 수직으로 만나고 직선 \(\rm AF\) 역시 직선 \(\rm DE\)와 수직으로 만난다. 그런데 직선 \(\rm AF\) 역시 직선 \(\rm DE\)와 수직으로 만나기 때문에 직선 는 두 직선 \(\rm GH\), \(\rm DE\)와 각각 수직으로 만난다.

그런데 두 직선이 만나는 한 점을 지나고 두 직선 모두에 수직인 직선은 두 직선을 포함하는 평면과도 수직이다. 따라서 직선 \(\rm FA\)는 두 직선 \(\rm ED\), \(\rm GH\)를 포함하는 평면과 수직이다.

그런데 두 직선 \(\rm ED\), \(\rm GH\)를 포함하는 평면은 처음 주어진 평면이다. 그러므로 직선 \(\rm AF\)는 처음 주어진 평면과 수직이다.

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그러므로, 주어진 평면 위에 있지 않은 한 점을 지나며 평면에 수직인 직선을 그릴 수 있다.

Q.E.D.