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증명

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두 수 \(a\), \(b\) 사이에 비례 중항 \(c\)가 유일하게 존재한다고 하자.

그러면 두 \(a\), \(b\)는 닮은 평면수임을 보여야 한다.

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우선 두 수 \(a\), \(b\)가 평면수임을 보이자.

두 수 \(a\), \(b\)의 비와 같으면서 즉, \(a:b=d:e\)인 가장 작은 수를 \(d\), \(e\)라 하자. [VII권 명제 33] 그러면 \(a=n\cdot d\)인 어떤 수 \(n\)에 대하여 \(c=n \cdot e\)이다. [VII권 명제 20]

단위수를 \(u\)라 하고, \(a=n\cdot d\)인 어떤 수 \(n\)에 대하여 수 \(f\)를 \(f=n\cdot u\)라 하자. 그러면 \(a=f\cdot d\)이다. 따라서 \(a\)는 평면수이며 \(d\), \(f\)는 \(a\)의 변들이다.

그리고 \(d\), \(e\)는 \(d:e=c:b\)이면서 가장 작은 수이므로 \(c=m \cdot d\)인 어떤 수 \(m\)에 대하여 \(b=m\cdot e\)이다. [VII권 명제 20]

\(b=m\cdot e\)인 어떤 수 \(m\)에 대하여 수 \(g\)를 \(g=m\cdot u\)라 하자. 그러면 \(g=m\cdot u\)이므로 \(b=g\cdot e\)이다. 따라서 \(b\)는 평면수이며 \(e\), \(g\)는 \(b\)의 변들이다. 그러므로 \(a\), \(b\)는 평면수들이다.

그 다음으로, \(a\), \(b\)가 닮은 평면수임을 보이자.

\(a=f\cdot d\), \(c=f\cdot e\)이므로 \(d:e=a:c=c:b\)이다. [VII권 명제 17]

\(c=e\cdot f\), \(b=e\cdot g\)이므로 \(f:g=c:b\)이다. [VII권 명제 17]

그런데 \(c:b=d:e\)이다. 그러므로 \(d:e=f:g\)이다. 바꾼 비례식에 의해서 \(d:f=e:g\)이다. [VII권 명제 13]

그러므로 \(a\), \(b\)는 변들이 서로 비례하므로 닮은 평면수들이다.

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그러므로 두 수 사이에는 비례 중항이 한 개 있으면 두 수는 닮은 평면수이다.

Q.E.D.

부연설명

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이 명제는 [VIII권 명제 18]의 부분적 역이다. 즉, 다음과 같은 명제로 표현할 수 있다.

두 수가 비례 중항을 가지면 이 두 수는 닮은 평면수이다.

예를 들어 \(a=18\), \(b=50\)이라고 하자. 그러면 비례 중항인 \(c=30\)이 존재한다.

\(a=3\cdot 6\), \(b= 5\cdot 10\)이며, \(d:e=3:5\)라 하자. \(\frac ad=6\)이면 \(d=3\), \(f=6\)이다. 따라서 \(a=d\cdot f=3\cdot 6\)이다. \(\frac dc =10\)이면 \(e=5\), \(g=10\)이다. 그러므로 \(b= e\cdot g =5 \cdot 10\)이다.

그러므로 평면수 \(a=3\cdot 6\), \(b=5\cdot 10\)은 평면수이다.

\(a\), \(b\)는 비례 중항 \(c\)를 가진다. 수 \(d\), \(e\)는 \(d:e=a:c\)인 가장 작은 수라 하자. 그러면 \(\frac ad=\frac ce=f\)라 하자. 그러면 \(a=d\cdot f\)이다.

\(c\), \(b\)는 \(c:b=a:c\)를 만족한다. \(d\), \(e\)는 \(d:e=a:c\)인 가장 작은 수이다. 그러므로 \(\frac cd=\frac be=g\)라 하자. 그러면 \(b=e\cdot g\)이다.

\(a\), \(b\)가 닮음임을 보이자. \(a=f\cdot d\), \(c=f\cdot e\)이므로 \(d:e=a:c\)이다. 또한 \(c\)가 \(a\), \(b\)의 비례 중항이므로 \(c:a=b:c\)이다. 그리고 \(g=e\cdot f\), \(b=e \cdot c\)이므로 \(c:b=f:g\)이다. 그러므로 \(d:e=f:g\)이고 바꾼 비례식에 의해서 \(d:f=e:g\)이다. 따라서 두 \(a\), \(b\)의 각 대응하는 변들이 비례 한다.

이 명제는 다음 두 명제와 [IX권 명제 2]에서 사용된다.