수학사랑

이 글은 저널 ‘수학사랑’ 43호(2004년 3/4월호)에 투고했던 글을 조금 고친 것입니다.

따짐이: 1 + 1 = 2 가 되는 것을 증명할 수 있나요? 아니면 약속(정의나 공리)인가요?

선생님: 약속일 수는 없지. 그런 식으로 하면 1 + 2 = 3 이나 2 + 2 = 4 같은 것도 모두 약속해야 할 테니까.

따짐이: 그럼 어떻게 증명하지요? 무척 어렵다는 말도 있던데...

선생님: 체계를 잘 세우면 증명이 어렵지는 않지. 그런데 그 체계를 세우는 것이 쉬운 일은 아니야. 물론 나중에 보면 별 것 아니지만.

따짐이: 체계를 세운다는 말은?

선생님: 기본적인 용어(무정의 용어)와 기본적인 약속(정의와 공리)을 정하여 다른 명제들이 그것들로부터 증명되도록 하는 일이지. 1 + 1 = 2 같은 것을 증명할 수 있느냐고 묻는 것은 사실 1 + 1 = 2 라는 명제를 증명할 수 있도록 자연수의 체계가 세워져 있느냐고 묻는 것이라고 할 수 있지.

따짐이: 그럼 다시 묻죠. 현재 수학에서 자연수의 체계가 1 + 1 = 2 라는 것을 증명할 수 있을 정도로 잘 마련되어 있나요?

선생님: 물론이다. 자연수에 대해서는 보통 페아노의 공리(Peano's axioms)라는 것을 받아들이면 우리가 상식적으로 참이라고 알고 있는 자연수에 대한 명제들을 증명할 수 있게 되지.

따짐이: 페아노의 공리가 무엇이죠?

선생님: ‘자연수’ 라는 말과 ‘다음 수’ 라는 말, 그리고 1 을 무정의 용어로 하고,

(1) 1 은 자연수이다.

(2) a 가 자연수이면, a 의 ‘다음 수’ 도 자연수이다.

(3) 1 은 어떤 자연수의 ‘다음 수’ 도 아니다.

(4) 두 자연수의 ‘다음 수’ 가 같으면, 그들 자신이 같다. (즉, 어떤 자연수에 그 ‘다음 수’를 대응시키는 함수는 일대일함수이다.)

(5) 자연수들로 이루어진 어떤 집합 S 가 있어서 1 이 S 의 원소이고, S 의 모든 원소에 대해 그 ‘다음 수’ 도 S 의 원소라면, S 는 사실은 모든 자연수의 집합이다.

와 같은 다섯 개야. 단, 원래는 1 대신에 0 이 들어가는데 ‘자연수’ 라는 말에 맞추기 위해 여기서는 1 을 사용했다.

따짐이: 1 은 무정의 용어고, 그럼 2 는 뭐죠?

선생님: 2 는 1 의 ‘다음 수’ 라고 정의하지.  3 은 2 의 다음 수, 등등이다.

따짐이: 잠깐, 2가 1과 같은 수가 아니라는 것은 어떻게 보장하죠? 1의 다음 수가 1 자신이라면 2가 1이 되고 자연수의 집합이 1 이라는 원소 하나로 된 집합이 되어 버릴 것 같은데?

선생님: 그런 가능성을 막기 위해서 공리 (3) 이 있잖니. 1 은 어떤 자연수의 다음 수도 아니다. 이것 때문에 자연수의 집합은 무한집합이 되지.

따짐이: 좋습니다. 좋고요. 그럼, ‘+’ 즉 덧셈은 뭐죠?

선생님: 우선 임의의 자연수 a 에 대해서 a + 1 은 a 의 다음 수로 정의한다.

따짐이: 호오, 벌써 증명 끝이네요. 1 + 1 은 1 의 다음 수이므로 정의에 의해 2 가 되니까.

선생님: 그렇지. 하지만 1 이 아닌 수를 더할 때는 어떻게 하는지 궁금하지 않니?

따짐이: 1 을 더하면 다음 수이니까 2 를 더할 때는, ‘다음 수의 다음 수’ 라고 하면 되겠죠. 3 을 더할 때는 ‘다음 수의 다음 수의 다음 수’ ...

선생님: 역시, 그 선생님에 그 제자라더니... 바로 그거야. 즉, n 이 1 이 아닐 때, n 은 어떤 자연수 m 의 ‘다음 수’ 이므로 a + n 은 ‘(a +m) 의 다음 수’ 로 정의하지. 즉, a + 2 는 (a + 1) 의 다음 수, a + 100 은 (a + 99) 의 다음 수 등등으로.

따짐이: 곱셈도 그런 식으로 가능한가요?

선생님: 가능하지. 예상할 수 있듯이 ‘다음 수’ 라는 개념을 교묘히 사용하여 우리가 상식적으로 알고 있는 사실들이 성립하도록 하고 있지.

따짐이: 그런데 왜 그런 교묘한 짓까지 하면서 1 + 1 = 2 같은 상식적인 것을 증명할 수 있게 하려는지 이해가 잘 안돼요.

선생님: 상식은 참이라는 보장이 없다는 것이 문제지. 전에는 ‘사람은 하늘을 날 수 없다’ 는 것이 상식이었듯이 말이야. 상식에 기초하여 어떤 이론을 세우면 기초가 튼튼하지 못한 셈이 되고, 그 기초가 되는 상식이 뒤집어지면 이론 자체가 무너지고 말겠지. 하지만 수학은 체계를 잘 만들어서 웬만한 쓸모 있는 명제들이 ‘증명’ 되도록 한 것이기 때문에 다른 이론들의 튼튼한 기초를 제공할 수 있는 것이야. 여기서 다른 이론들이란 자연과학 같은 다른 학문일 수도 있고 수학 내부의 다른 분야일 수도 있지.

송영준(도봉고등학교 수학 교사)