수학사랑

따짐이: 어떻게 하면 수학 공부를 잘 할 수 있을까요?  

선생님: 음... 그건, 수학 공부를 잘 한다는 게 무슨 뜻이냐에 따라 대답이 달라지겠지.

따짐이: 글쎄요, 수학 공부를 잘 한다 못 한다를 구별하는 기준은 보통 수학 시험 점수이죠.  다시 말해 수학 공부를 잘 하는 방법이란, 수학 시험 점수를 올리는 방법을 말한다는 것이죠.

선생님: 수학 점수를 올리는 방법?  그것은 수학에서 배워야 할 것을 제대로 배우면 되지.

따짐이: 수학에서 배워야 할 것이 뭔데요?

선생님: 교과서에 나와 있는 지식들, 그리고 그것들 사이의 관계, 그리고 사물을 수학적으로 보는 사고방식, 그리고 수학이 가치 있다는 믿음, 이런 것들이지.

따짐이: 헐~

선생님: 왜?

따짐이: 사람들은 보통 ‘교과서에 나와 있는 지식들’만 생각할 것 같은데요.  나머지 것들은 수학 점수를 올리는 데 소용이 없지 않을까요?

선생님: 그렇게 생각하기가 쉽지.  하지만 지식들 사이의 관계, 사물을 수학적으로 보는 사고방식, 수학이 가치 있다는 믿음 같은 것들은 비록 교과서에 명시적으로 나와 있지는 않고, 수학 시험에도 나오지는 않지만 수학 교육을 통해서 반드시 앞 세대에서 뒤 세대로 이어져야 하는 것이야.  수학은 서로 관계 지어지지 않은 단편적인 지식들의 집합이 결코 아니고, 수학을 가르치고 배우는 이유는 그런 단편적인 지식들을 전해 주는 것이 아니라는 거지.

따짐이: 하지만, 지금 방금 말씀하셨듯이, 그런 것들이 수학 교과서와 시험에 나오지 않는다면 수학 점수를 올리는 데 별 소용이 없지 않느냐는 것이죠.

선생님: 정말 그렇게 생각하니?

따짐이: 아니 뭐 꼭 그렇다기보다, 보통 그렇게들 생각할 것 같다는...

선생님: 눈에 보이는 결과에만 집착하면 정말 중요한 것을 놓치게 되지.  단기적으로는 복잡하게 생각할 것 없이 각 단원에서 시험 문제에 나올 수 있는 유형들을 나열하고 그것을 빠르고 정확히 풀 수 있도록 반복 숙달하는 것이 점수 올리기에는 도움이 될 수도 있어.  하지만 길게 보면 이야기가 달라지지.

따짐이: 왜요?

선생님: 시험문제에서 위력을 발휘하는 ‘문제풀이용 지식’들은 대개 해당 단원, 해당 유형 문제에만 적용되지.

따짐이: 문제집을 보면 그렇게 되어 있어요.  문제 유형에 따라 어떻게 풀어야 하는지가 나와 있죠.

선생님: 문제 유형별 풀이 방법을 익히고, 그것도 실수를 방지하기 위해 반복 숙달하다 보면, 그 사람의 정신에 자리 잡은 수학 지식이란 어떤 것이 될까?  수학적 지식이란 이리 저리 얽혀 있는 그물과 같은 것인데, 그 연결이 대부분 잘려 산산이 흩어진 상태로 그저 ‘쑤셔넣어져’ 있게 되지 않을까?

따짐이: 연결 그 자체를 만드는 데 시간과 노력이 든다면 그것이 효율적이겠죠.

선생님: 그래서 단기적으로는 점수 올리는 데 도움이 될 수 있다는 거지.  하지만, 그런 식으로 서로 연결되지 않은 지식의 집합을 언제까지 계속 담아 둘 수 있다고 생각하니?

따짐이: 모르죠.  하지만 수능 시험 볼 때까지만 넣어 두면 되니까...

선생님: 그래.  그렇게 생각하는 사람이 많지.  하지만 이렇게 단편적인 것들의 집합을 계속 기억하려면 점점 더 많은 반복 숙달이 필요해지지.  이것을 몇 년간 계속한다는 것은 매우 고통스러운 일이야.

따짐이: 그래서 수학 하면 몸서리치는 사람들이 많죠.

선생님: 그렇지.  수학은 그런 식으로 공부하기에는 가장 부적당한 과목이고, 내용도 엄청 많으니까.  어쨌든 그런 식으로 하다보면 이미 넣어져 있는 것이 많을수록 새로 무엇인가를 집어넣기는 점점 어려워지게 되겠지.  심리적인 압박감이 생김은 물론, 점수 올리기에도 실패할 가능성이 매우 높아.  또한, 예컨대 수능 시험을 보고 나면 반복 숙달을 계속하지 않을 테니 그런 지식은 급속도로 사라지고, 그 사람에게 고통스러웠던 기억만을 남기게 되겠지.  이것이 시험 점수 올리기식, 문제유형 반복 숙달식 공부의 한계야.

따짐이: 그렇다면 어떻게 해야 수학 공부를 잘 할 수 있을까요?

선생님: 제대로 공부해야지.  수학에서 배워야 할 것을 모두 배우면서.

따짐이: 예를 들어서 어떻게요?

선생님: 예를 들어, 중학교 때부터 여러 가지 함수를 배우지.  일차함수, 이차함수, 분수함수, 무리함수, 삼각함수, 지수함수, 로그함수 등등.  이런 것을 배울 때마다 반복 숙달해야 할 문제 유형이 늘어난다고 생각하면 얼마나 괴로울까?

따짐이: 그렇겠죠.  ‘삼각함수 같은 건 누가 만들어서 나를 이렇게 고생을 시키는 거야!’ 이러면서.

선생님: 하지만 각 단원에서 우리가 하고 있는 것은 사실 똑같은 일이야.  식과 그래프의 관계를 탐구하는 일이지.  모두 같은 원리로 설명 가능하다는 이야기야. 

             예를 들어 각 함수 단원에는 모두  그래프가 어떤 특정한 점을 지난다는 조건을 사용하여 함수의 식에 들어 있는 미정계수를 구하는 문제가 있지. 

             직선  의 그래프가 점 (3, 0)을 지날 때 a 의 값을 구하여라,

             어떤 이차함수의 그래프의 꼭지점이 (1, 2)이고 (0, 3)을 지날 때 그 이차함수의 식을 구하여라, 

             이것들이 하나의 원리로부터 나온, 모두 연결되어 있는 문제라는 생각을 할 줄 아는 학생에게는 새로운 함수를 하나씩 공부해 간다는 것은 괴로운 일이 아니라 재미있는 일이고, 저금통장에 돈이 쌓여 가는 것처럼 뿌듯한 일이야.