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페르마 점/Fermat point

작성자 : 수학사랑|조회수 : 10186

예각삼각형의 내부의 한 점에서 세 꼭지점에 이르는 거리의 합이 최소가 되는 삼각형의 내부의 한 점을 페르마 점이라고 한다.

이 점을 토리첼리 점(Torricelli point) 또는 등각심(isogonic center)이라고도 한다. 그림에서 삼각형 ABC의 페르마 점은 F이다.

점 P를 마우스로 끌어 거리의 합을 관찰해보자.

 

삼각형의 세 변을 각각 한 변으로 하는 정삼각형을 그리고 페르마 점 F를 찾으면 다음과 같다. 점 A, B, C를 마우스로 끌어 움직이면서 페르마 점을 관찰해 보자.

이제 페르마에서 세 꼭지점에 이르는 거리가 최소임을 알아보자.
점B를 중심으로 점 A, P를60˚ 회전이동한 점을 각각 A', P'이라하면

이 값이 최소가 되려면 점 A', P', P, C 가 한 직선 위에 있을 때이다.

그림에서 점 P를 마우스로 끌어 점 F 위에 놓아보자.

이 때, 페르마 점은 정삼각형 A'BA의 꼭지점 A'과 꼭지점 C를 이은 선분 위에 있다.

따라서 변 AC를 한 변으로 하는 정삼각형을 그리고 위와 같이 선분을 만들어 교점을 구하면 그 점이 페르마 점 F가 된다.

한편 점 P가가 페르마 점 F와 일치할 때, ∠A'P'B = 120˚ 이므로 페르마 점 F에서 각 꼭지점 A, B, C를 연결하여 생기는 세 각의 크기는 모두120˚ 이다.

다음은 비누막이 삼각형의 페르마 점을 찾은 사진이다. 또한 오른쪽 그림은 GSP의 가변색을 이용하여 세 꼭지점으로부터의 거리의 합이 같은 위치들을 같은 색으로 칠한것이다.

이 그림을 통하여 거리의 합의 분포를 알 수 있다.

이 점 F도 페르마 점이라고 하는 데 위의 페르마 점과 구분하기 위하여  앞의 페르마 점을 제1 페르마 점, 지금의 페르마 점을 제2 페르마 점이라고도 한다.


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