명제 1

어떤 크기들이 몇 개 있고, 다른 어떤 크기들이 같은 개수만큼 있다. 어떤 크기들은 다른 어떤 크기들에 같은 개수를 곱해서 얻은 크기들이라 하자. 그러면 개수가 몇 개이든지 어떤 크기들을 모두 더한 것은 다른 어떤 크기들을 모두 더한 것에다가 그 개수를 곱해서 얻은 크기와 같다.

두 수 \(\overline{\rm AB}\), \(\overline{\rm CD}\)와 두 수 \(e\), \(f\)는 어떤 수 \(k\)에 대하여 \(\overline{\rm AB}=ke\), \(\overline{\rm CD}=kf\)이라고 하면 \(\overline{\rm AB}+\overline{\rm CD}=k(e+f)\)이다.

명제 2

여섯 개의 크기들에 대하여, 셋째 크기는 넷째 크기에 어떤 수의 곱이고, 첫째 크기는 둘째 크기에 대해 그것과 같은 어떤 수의 곱이라고 하자. 또한 여섯째 크기는 넷째 크기에 같은 다른 어떤 수의 곱이고, 다섯째 크기는 둘째 크기에 같은 다른 어떤 수의 곱이라고 하자. 그러면 셋째 크기와 여섯째 크기를 더한 것은 넷째 크기에 같은 어떤 수의 곱이고, 첫째 크기와 다섯 째 크기를 더한 것은 둘째 크기에 같은 다른 어떤 수를 곱한 것이다.

여섯 개의 크기 \(\overline{\rm AB}\), \(c\), \(\overline{\rm DE}\), \(f\), \(\overline{\rm BG}\), \(\overline{\rm EH}\)에 대하여, \(\overline{\rm AB}=kc\), \(\overline{\rm DE}=kf\), \(\overline{\rm BG}=k'c\), \(\overline{\rm EH}=k’f\)라고 하자. (단, \(k\), \(k’\)은 상수) 그러면 \(\overline{\rm AB}+\overline{\rm BG}=(k+k’)c\), \(\overline{\rm DE}+\overline{\rm EH}=(k+k')f\)이다.

명제 3

첫째 크기가 둘째 크기의 어떤 곱이고, 셋째 크기가 넷째 크기의 어떤 크기의 곱이라고 하자. 첫째 크기의 셋째 크기에 다른 크기를 곱해서 얻은 크기는 각각 그 크기들은 둘째 크기와 넷째 크기의 또 다른 크기를 곱해서 얻은 크기와 같다.

\(a=nb\), \(c=nd\)인 \(a\), \(b\), \(c\), \(d\)에 대하여, \(\overline{\rm EF}=ma\), \(\overline{\rm GH}=mc\)이면 \(\overline{\rm EF}=mnb\), \(\overline{\rm GH}=mnd\)이다.(\(m\), \(n\)은 상수)

명제 4

첫째 크기와 둘째 크기의 비율이 셋째 크기와 넷째 크기의 비율이 같다고 하자. 같은 어떤 수를 첫째 크기와 둘째 크기에 곱하자. 이전과 다른 같은 어떤 수를 둘째 크기와 넷째 크기에 곱하자. 그러면 그렇게 어떤 수들이 곱해진 첫째 크기와 둘째 크기의 비율은 셋째 크기와 넷째 크기의 비율은 같다.

네 수 \(a\), \(b\), \(c\), \(d\)가 있다. 그러면 임의의 \(p\), \(q\)에 대하여, \(a:b=c:d\)이면 \(pa:qb=pc:qd\)이다.

명제 5

어떤 크기가 다른 어떤 크기의 곱이라고 하자. 거기에서 어떤 부분들을 뺏는데, 부분은 부분에 대하여, 크기가 크기의 곱인 것과 같은 곱이라고 하자. 그러면 나머지도 나머지에 대하여 크기가 크기의 곱인 것과 같은 곱이다.

두 크기 \(\overline{\rm AB}\), \(\overline{\rm CD}\)는 \(\overline{\rm AB}=k\overline{\rm CD}\)이며, 선분 \(\rm AB\)의 부분인 선분 \(\rm AE\)와 선분 \(\rm CD\)의 부분인 선분 \(\rm CF\)는 \(\overline{\rm AE}=k\overline{\rm CD}\)라고 하자. 그러면 \(\overline{\rm EB}=\overline{\rm AB}-\overline{\rm AE}\), \(\overline{\rm FD}=\overline{\rm CD}-\overline{\rm CF}\)인 두 크기 \(\rm EB\), \(\rm FD\)에 대하여, \(\overline{\rm EB}=k\overline{\rm FD}\)이다. (단, \(k\)는 상수)

명제 6

두 크기에 대하여 같은 수를 곱하고 그 곱들에서 원래의 크기에서 또 어떤 같은 수를 곱한 것을 빼면, 그들의 나머지들은 원래 크기이거나 또는 원래 크기에 같은 곱이다.

두 크기 \(e\), \(f\)에 대하여 \(\overline{\rm AB}=me\), \(\overline{\rm CD}=mf\)이라 하자(\(m\)은 수). 또 \(\overline{\rm AG}=ne\), \(\overline{\rm CH}=nf\)이고 \(\overline{\rm GB}=\overline{\rm AB}-\overline{\rm AG}\), \(\overline{\rm HD}=\overline{\rm CD}-\overline{\rm CH}\)라 하자.(\(n\)은 수) 그러면 \(\overline{\rm GB}=e\), \(\overline{\rm HD}=f\) 또는 \(\overline{\rm GB}=(m-n)e\), \(\overline{\rm HD}=(m-n)f\)이다.

명제 7

크기가 같은 두 크기는 어떤 크기에 대해서든 같은 비율을 가진다. 그리고 어떤 크기든 간에 같은 크기의 크기는 같은 비율을 가진다.

세 크기 \(a\), \(b\), \(c\)가 있다. \(a=b\)이면, 임의의 \(c\)에 대하여 \(a:c=b:c\)이고, \(c:a=c:b\)이다.

따름 명제

네 개의 크기 \(a\), \(b\), \(c\), \(d\) 에 대하여 \(a:b=c:d\)이면 \(b:a=d:c\)이다.

명제 8

크기가 다른 크기와 어떤 크기가 있다. 큰 것과 어떤 크기와의 비율은 작은 것과 어떤 크기와의 비율보다 더 크다. 또한 어떤 크기와의 작은 것에 대한 비율은 어떤 크기와 큰 것의 비율보다 더 크다.

크기 \(\overline{\rm AB}\), \(c\), \(d\)에 대하여, \(\overline{\rm AB}>c\)이면 \(\overline{\rm AB}:d > c:d\)이고, \(d:\overline{\rm AB} < d:c\)이다.

명제 9

두 개의 크기가 어떤 크기에 대해서 비율이 같으면 두 개의 크기가 같다. 또한 어떤 크기가 두 개의 크기에 대한 비율이 같으면 두 개의 크기는 같다.

두 크기 \(a\), \(b\)는 임의의 크기 \(c\)에 대하여 \(a:c=b:c\)이면 \(a=b\)이다. 또한 \(c:a=c:b\)이면 \(a=b\)이다.

명제 10

두 개의 크기의 어떤 크기에 대한 두 비율이 큰 비율이 더 크면 큰 비율의 크기가 더 크다. 또한 어떤 크기에 대한 두 개의 크기의 비율이 더 작은 비율의 크기가 더 크다.

두 크기 \(a\), \(b\)는 임의의 \(c\)에 대하여 \(a:c>b:c\)이면 \(a>b\)이다. 또한 \(c:a< c:b\)이면 \(a>b\)이다.

명제 11

두 비율이 어떤 비율과 같으면 그 두 비율은 서로 같다.

여섯 개 크기 \(a\), \(b\), \(c\), \(d\),\(e\), \(f\)에 대하여 \(a:b=c:d\)이고 \(c:d=e:f\)이면 \(a:b=e:f\)이다.

명제 12

여러 개의 여러 크기들이 서로 비례한다고 하자. 앞의 크기 모두를 더한 것과 뒤의 크기를 모두 더한 것의 비율도 그 비율과 같다.

여섯 개 크기 \(a\), \(b\), \(c\), \(d\),\(e\), \(f\)에 대하여 \(a:b=c:d=e:f\)이면 \(a:b=(a+c+e):(b+d+f)\)이다.

명제 13

여섯 개의 크기에 대하여 첫 번째 크기와 두 번째 크기의 비율은 세 번째 크기와 네 번째 크기의 비율과 같고 세 번째 크기와 네 번째 크기의 비율이 다섯 번째 크기와 여섯 번째 크기의 비율 보다 크면 첫 번째 크기와 두 번째 크기의 비율도 다섯 번째 크기와 여섯 번째 크기의 비율 보다 크다.

여섯 개 크기 \(a\), \(b\), \(c\), \(d\),\(e\), \(f\)에 대하여 \(a:b=c:d\)이고 \(c:d>e:f\)이면 \(a:b>e:f\)이다.

명제 14

첫 번째 크기와 두 번째 크기의 비율이 세 번째 크기와 네 번째 크기의 비율과 같다. 이때, 첫 번째 크기가 세 번째 크기보다 크면 두 번째 크기는 네 번째 크기보다 크며, 같으면 같고, 작으면 작다.

네 개의 크기 \(a\), \(b\), \(c\), \(d\)에 대하여, \(a:b=c:d\)이다. 이때 \(a>=< c\)이면 \(b>=< d\)이다.

명제 15

어떤 두 개의 크기의 비율을 각 크기를 크기가 같은 임의의 개수로 나누자. 그러면 각각 나누어진 한 개의 크기의 비율은 어떤 두 크기의 비율과 같다.

네 개의 크기 \(\overline{\rm AB}\), \(\overline{\rm DE}\), \(c\), \(f\)가 있다. 임의의 \(p\)에 대하여, \(\overline{\rm AB}=p\cdot c\), \(\overline{\rm DE}=p\cdot f\)이면 \(\overline{\rm AB}:\overline{\rm DE}=c:f\)이다.

명제 16

네 개의 크기에 대하여, 첫 번째 크기와 두 번째 크기의 비율이 세 번째 크기와 네 번째 크기의 비율이 같으면 첫 번째 크기와 세 번째 크기의 비율이 두 번째 크기와 네 번째 크기의 비율과 같다.

네 개의 수 \(a\), \(b\), \(c\), \(d\)에 대하여, \(a:b=c:d\)이면 \(a:c=b:d\)이다.

명제 17

어떤 네 개의 크기에 대하여, 첫 번째와 두 번째 크기를 더한 크기와 두 번째 크기의 비율은 세 번째 크기와 네 번째 크기를 더한 크기와 네 번째 크기의 비율을 같으면, 첫 번째 크기와 두 번째 크기에서 두 번째 크기를 뺀 크기와 두 번째 크기의 비율은 세 번째 크기와 네 번째 크기를 더한 크기에서 네 번째 크기를 뺀 크기와 네 번째 크기의 비율이 같다. 즉, 첫 번째와 두 번째 크기의 비율은 세 번째와 네 번째 크기의 비율이 같다.

어떤 네 크기 \(\overline{\rm AB}, \overline{\rm BE}, \overline{\rm CE}, \overline{\rm DF}\)에 대하여, \(\overline{\rm AB}:\overline{\rm BE}=\overline{\rm CD}:\overline{\rm DF}\)이면 \(\left(\overline{\rm AB}-\overline{\rm BE}\right):\overline{\rm BE}=\left(\overline{\rm CD}-\overline{\rm DF}\right):\overline{\rm DF}\)이다. 즉, \(\overline{\rm AE}:\overline{\rm EB}=\overline{\rm CF}:\overline{\rm DF}\)이다.

명제 18

네 크기에 대하여, 첫 번째 크기와 두 번째 크기의 비가 세 번째 크기와 네 번째 크기의 비와 같으면 첫 번째와 두 번째 크기의 합과 두 번째 크기의 비는 세 번째와 네 번째 크기의 합과 네 번째 크기의 비와 같다.

네 크기 \(\overline{\rm AE}\), \(\overline{\rm EB}\), \(\overline{\rm CF}\), \(\overline{\rm FD}\)에 대하여, \(\overline{\rm AE}:\overline{\rm EB}=\overline{\rm CF}:\overline{\rm FD}\)이면 \(\left(\overline{\rm AE}+\overline{\rm EB}\right):\overline{\rm EB}=\left(\overline{\rm CF}+\overline{\rm FD}\right):\overline{\rm FD}\) 즉, \(\overline{\rm AB}:\overline{\rm EB}=\overline{\rm CD}:\overline{\rm FD}\)이다.

명제 19

두 개의 전체 크기의 비와 각각 크기의 각 부분과의 비가 같으면, 각각의 나머지의 비와 전체 크기의 비가 같다.

두 개의 크기 \(\overline{\rm AB}\), \(\overline{\rm CD}\)와 \(\overline{\rm AB}\)와 \(\overline{\rm CD}\)의 일부를 각각 \(\overline{\rm AE}\), \(\overline{\rm CF}\)라 하자. 그러면 남은 크기 \(\overline{\rm EB}\), \(\overline{\rm FD}\)에 대하여, \(\overline{\rm AE}:\overline{\rm CF}=\overline{\rm AB}:\overline{\rm CD}\)이면 \(\overline{\rm EB}:\overline{\rm FD}=\overline{\rm AB}:\overline{\rm CD}\)이다.

명제 20

세 개의 크기와 또 다른 세 개의 크기에 대하여, 이들 차례로 크기의 두 개씩의 비율이 같다고 하자. 그러면 첫 번째 크기가 세 번째 크기 보다 크면 네 번째 크기가 여섯 번째 크기보다 크고 같으면 같고, 작으면 작다.

세 개의 크기 \(a\), \(b\), \(c와\) 또 다른 세 개의 크기 \(d\), \(e\), \(f\)에 대하여, \(a:b=d:e\), \(b:c=e:f\)라고 하자. 그러면 \(a>= < c\)이면 \(d>=< f\)이다.

명제 21

세 개의 크기가 있고 또 다른 세 개의 크기가 있다. 그리고 그 두 개의 크기의 비율이 서로 엇갈려 있다고 하자. 그러면 첫 번째 크기가 세 번째 크기 보다 크면 네 번째 크기도 여섯 번째 크기보다 크고, 같으면 같고, 작으면 작다.

세 개의 크기 \(a\), \(b\), \(c\)와 또 다른 세 개의 크기 \(d\), \(e\), \(f\)에 대하여, \(a:b=e:f\)이고 \(b:c=d:e\)라고 하자. 그러면 \(a>= < c\)이면 \(d>= < f\)이다.

명제 22

임의 수의 개수 만큼 크기가 있고, 또 다른 크기가 같은 개수만큼 있다고 하자. 이들 크기 두 개씩 비율을 구할 수 있고, 그 비율이 순서대로 같다고 하자. 그러면 같은 위치에 있는 크기의 비율은 같다. 즉, 첫 째와 맨 마지막 비율이 같다.

어떤 크기들 \(a\), \(b\), \(c\)가 있고 또 같은 개수 만큼의 다른 크기 \(d\), \(e\), \(f\)가 있고, \(a:b=d:e\)이고 \(b:c=e:f\)이라고 하자. 그러면 \(a:c=d:f\)이다.

명제 23

세 개의 크기와 또 다른 세 개의 크기에 대하여, 첫 번째와 두 번째 크기 비율이 네 번째와 여섯 번째 크기의 비율이 같고, 두 번째와 세 번째 크기의 비율이 네 번째와 다섯 번째 크기의 비율과 같다고 하자. 그러면 첫 번째와 세 번째 크기의 비율은 네 번째와 여섯 번째 크기의 비율과 같다.

세 개의 크기 \(a\), \(b\), \(c\)와 또 다른 세 개의 크기 \(d\), \(e\), \(f\)에 대하여, \(a:b=e:f\)이고 \(b:c=d:e\)이면 \(a:c=d:f\)이다.

명제 24

여섯 개의 크기에 대하여, 첫 번째와 두 번째 크기의 비율은 세 번째와 네 번째 크기의 비율과 같고, 다섯 번째와 두 번째 크기의 비율은 여섯 번째와 네 번째 크기의 비율과 같다고 하자. 그러면 첫 번째와 다섯 번째 크기를 더한 크기와 두 번째 크기의 비율은 세 번째와 여섯 번째 크기를 더한 크기와 네 번째 크기와의 비율과 같다.

여섯 개의 크기 \(\overline{\rm AB}\), \(c\), \(\overline{\rm DE}\), \(f\), \(\overline{\rm BG}\), \(\overline{\rm EH}\)에 대하여, \({\overline{\rm AB}}:c={\overline{\rm DE}}:f\)이고 \({\overline{\rm BG}}:c={\overline{\rm EH}}:f\)이라고 하자. 그리고 \(\left({\overline{\rm AB}+\overline{\rm BG}}\right):c=\left({\overline{\rm DE}+\overline{\rm EH}}\right):f\)이다. 즉, \(\overline{\rm AG}=\overline{\rm AB}+\overline{\rm BG}\), \(\overline{\rm DH}=\overline{\rm DE}+\overline{\rm EH}\)이므로 \({\overline{\rm AG}}:c={\overline{\rm DH}}:f\)이다

명제 25

네 개의 크기에 대하여, 첫 번째와 두 번째 크기의 비율이 세 번째와 네 번째 크기의 비율과 같다. 그러면 가장 큰 크기와 가장 작은 크기의 합의 크기는 나머지 두 크기의 합보다 크다.

네 개의 크기 \(\overline{\rm AB}\), \(\overline{\rm CD}\), \(e\), \(f\)에 대하여, \({\overline{\rm AB}}:{\overline{\rm CD}}=e:f\)라고 하자. \(\overline{\rm AB}\)가 가장 크고, \(f\)가 가장 작다고 하자. 그러면 \({\overline{\rm AB}}+f>{\overline{\rm CD}}+e\)이다.