홀수 개의 홀수 \(\overline{\rm AB}\), \(\overline{\rm BC}\), \(\overline{\rm CD}\)가 있다. 수 \(\overline{\rm AD}\)를 \(\overline{\rm AD}=\overline{\rm AB}+\overline{\rm BC}+\overline{\rm CD}+\overline{\rm ED}\)이라 하자.
그러면 \(\overline{\rm AD}\)는 홀수임을 보이자.
단위수를 \(\overline{\rm DE}\)라 하고, 수 \(\overline{\rm CE}\)를 \(\overline{\rm CE}=\overline{\rm CD}-\overline{\rm DE}\)라 하자. 그러면 나머지 \(\overline{\rm CE}\)는 짝수이다. [VII권 정의 7] 그런데 \(\overline{\rm CA}\)도 또한 짝수이다. [IX권 명제 22] 그러므로 \(\overline{\rm AE}\)는 짝수이다. [IX권 명제 21] 그리고 \(\overline{\rm DE}\)는 단위수이다. 그러므로 \(\overline{\rm AD}\)는 홀수이다. [VII권 정의 7]
그러므로 홀수 개의 홀수들의 합은 홀수이다.
Q.E.D.
이전 명제와 마찬가지로 [VII 정의 7]에 의존하지만 어디에도 이를 증명한 곳이 없다.
이 명제는 [IX권 명제 29], [IX권 명제 30]에서 사용된다.