주어진 직사각형의 넓이는 직각을 끼고 있는 두 변의 길이의 곱이다.
주어진 직사각형 \(\rm ABCD\)의 넓이는 \(\angle\rm BAC=90^\circ\)를 만드는 두 변 \(\rm AB\), \(\rm AD\) 길이의 곱 \(\overline{\rm AB}\times\overline{\rm AD}\)이다.
주어진 평행사변형의 한 점에서 그 한 각을 포함한 닮은꼴의 작은 평행사변형을 떼어낸 도형을 노몬(gnomon)이라고 한다.
주어진 평행사변형 \(\rm ABCD\)에서 대각선 \(\rm AC\) 위의 점 \(\rm F\)에서 이 점을 지나고 각 변에 평행한 직선과 평행사변형의 각 변과 만나는 점을 \(\rm E\), \(\rm I\), \(\rm G\), \(\rm H\)라고 하자. 그러면 평행사변형 \(\rm FICG\)에 두 평행사변형 \(\rm EBIF\)와 \(\rm HFGD\)를 붙여 만든 L자 모양의 도형 \(\rm EFHDCB\)를 노몬(gnomon)이라고 한다. 이 노몬을 노몬 \(\rm LKJ\)라고 한다.
주어진 두 선분 중 한 선분을 여러 개로 잘라서 만든 선분들과 남은 한 선분으로 만든 직사각형들의 넓이의 합은 주어진 두 선분으로 만든 직사각형의 넓이와 같다.
주어진 두 선분 \(\rm AB\)와 \(\rm CD\)로 이루어진 직사각형의 넓이는 선분 \(\rm CD\) 위에 점 \(\rm E\), \(\rm F\)를 잡아 세 선분 \(\rm CE\), \(\rm EF\), \(\rm FD\)으로 나누면, (두 선분 \(\rm AB\)와 \(\rm CD\)로 만든 직사각형의 넓이)\(=\)(두 선분 \(\rm AB\)와 \(\rm CE\)로 만든 직사각형의 넓이)\(+\)(두 선분 \(\rm AB\)와 \(\rm EF\)로 만든 직사각형의 넓이)\(+\)(두 선분 \(\rm AB\)와 \(\rm FD\)로 만든 직사각형의 넓이)이다. 즉, \(\overline{\rm AB}\times\overline{\rm CD}=\overline{\rm AB}\times\overline{\rm CE}+\overline{\rm AB}\times\overline{\rm EF}+\overline{\rm AB}\times\overline{\rm FD}\)이다.
주어진 선분 위의 여러 개의 임의의 점을 잡아서 여러 개로 나눈 선불들과 주어진 선분으로 만든 직사각형의 넓이의 합은 주어진 선분으로 만든 정사각형 넓이와 같다.
주어진 선분 \(\rm AB\) 위의 임의의 점 \(\rm C\)에 대하여, 선분 \(\rm AB\)로 만든 정사각형의 넓이는 선분 \(\rm AC\)와 선분 \(\rm BA\) 만든 직사각형과 선분 \(\rm CB\)와 선분 \(\rm AB\)로 만든 직사각형의 넓이의 합과 같다.
주어진 선분 위의 임의의 한 점을 잡아 선분을 둘로 나누면, 주어진 선분과 나누어진 두 선분 중 한 선분으로 만든 직사각형 넓이는 그 한 선분으로 만든 정사각형 넓이와 주어진 선분과 나머지 한 선분으로 만든 직사각형 넓이의 합과 같다.
주어진 선분 \(\rm AB\)의 내부의 임의의 한 점을 \(\rm C\)라 하면, 두 선분 \(\rm AB\)와 \(\rm BC\)으로 만든 직사각형 넓이는 \(\rm BC\)를 한 변으로 하는 정사각형의 넓이와 두 선분 \(\rm AC\), \(\rm BC\)로 만든 직사각형의 넓이의 합과 같다.
주어진 선분 위의 점을 잡아 두 선분으로 나누면, 주어진 선분으로 만든 정사각형의 넓이는 나누어진 각 선분으로 만든 두 정사각형의 넓이와 나누어진 두 선분으로 만든 직사각형의 넓이 2배의 합과 같다.
주어진 선분 \(\rm AB\) 위에 임의의 점을 \(\rm C\)라 하면 주어진 선분 \(\rm AB\)를 한 변으로 하는 정사각형의 넓이는 선분 \(\rm AC\)와 선분 \(\rm BC\)를 각각 한 변으로 하는 정사각형 두 개의 넓이와 선분 \(\rm AC\)와 선분 \(\rm BC\)로 만든 직사각형의 넓이의 2배의 합과 같다.
주어진 선분을 길이가 같도록 자르고, 이 중 한 선분 위에 한 점을 잡아 두 선분의 길이가 다르게 자르면, 주어진 선분의 절 반와 나머지 절반의 선분을 자른 선분 중 한 선분을 합친 선분과 나머지 한 선분으로 만든 직사각형 넓이와 나머지 선분을 만든 정사각형 넓이의 합은 주어진 선분의 절반을 만든 정사각형 넓이와 같다.
주어진 선분 \(\rm AB\)의 중점을 \(\rm C\), 선분 \(\rm CD\)위의 임의의 점 \(\rm D\)에 대하여, 선분 \(\rm AD\)와 선분 \(\rm DB\)를 이웃하는 두 변으로 하는 직사각형의 넓이와 선분 \(\rm CD\)를 한 변으로 하는 정사각형의 넓이의 합은 선분 \(\rm AC\)를 한 변으로 하는 정사각형의 넓이와 같다.
주어진 선분의 한쪽 끝에 주어진 또 다른 선분을 일직선이 되도록 연결하면, 주어진 선분과 또 다른 선분을 일직선을 연결한 선분을 한 변으로 하고 또 다른 선분을 한 변으로 하는 직사각형 넓이와 주어진 선분을 이등분한 선분을 한 변으로 하는 정사각형 넓이와의 합은 주어진 선분을 이등분한 선분과 또 다른 선분을 일직선이 되게 연결한 선분을 한 변으로 하는 정사각형 넓이와 같다.
주어진 선분 \(\rm AB\)의 중점을 \(\rm C\), 선분 \(\rm AB\)의 점 \(\rm B\)쪽으로 연장선 위의 한 점을 \(\rm D\)라 하면, 선분 \(\rm AD\)와 선분 \(\rm BD\)를 이웃하는 두 변으로 하는 직사각형과 선분 \(\rm CB\)를 한 변으로 하는 정사각형의 넓이의 합은 선분 \(\rm CD\)를 한 변으로 하는 정사각형의 넓이와 같다. 즉, \(\overline{\rm AD}\times\overline{\rm BD}+\overline{\rm CB}^2=\overline{\rm CD}^2\)이 성립한다.
주어진 선분 위의 임의의 점을 선분을 잘라 두 선분으로 나누면, 전체 선분으로 만든 정사각형 넓이와 나누어진 두 선분 중 한 선분으로 만든 정사각형의 넓이의 합은 전체 선분과 나누어진 한 선분으로 만든 직사각형의 넓이의 두 배에 나누어진 나머지 선분으로 만든 정사각형 넓이의 합과 같다.
주어진 선분 \(\rm AB\) 위에 임의의 점을 \(\rm C\)에 대하여, 선분 \(\rm AB\)로 만든 정사각형과 선분 \(\rm BC\)로 만든 정사각형의 넓이의 합은, 선분 \(\rm AB\)와 선분 \(\rm BC\)를 각각 가로와 세로로 하는 직사각형의 넓이의 두 배에 선분 \(\rm AC\)로 만든 정사각형의 넓이를 더한 것과 같다. 즉, \(\overline{\rm AB}^2 + \overline{\rm BC}^2 = 2\cdot \overline{\rm AB}\cdot\overline{\rm BC}+\overline{\rm AC}^2\)이다.
주어진 선분 위의 임의의 점을 잡아 선분을 나누자. 전체 선분과 나누어진 선분 중 한 선분으로 만든 직사각형 넓이의 4배에 나누어진 선분 중 나머지 선분으로 만든 정사각형 넓이의 합은 주어진 선분에 나누어진 선분 중 한 선분을 이어 합친 선분으로 만든 정사각형 넓이와 같다.
주어진 선분 \(\rm AB\) 위에 점 \(\rm C\)에 대하여, 선분 \(\rm AC\)와 \(\rm BC\)로 만든 직사각형의 넓이의 \(4\)배와 선분 \(\rm AC\)로 만든 정사각형의 넓이를 더하면, 선분 \(\rm AB\)에 선분 \(\rm BC\)를 더한 선분 \(\rm AD\)로 만든 정사각형의 넓이와 같다. 즉, \(4\cdot\overline{\rm AB}\cdot\overline{\rm BC}+\overline{\rm AC}^2=\overline{\rm AD}^2\) (단,\(\overline{\rm AD}=\overline{\rm AB}+\overline{\rm BC}\)이다.)
주어진 선분을 길이가 같도록 두 선분으로 자르고, 또한 같은 주어진 선분을 길이가 같지 않은 두 선분으로 자르면, 길이가 같지 않게 자른 두 선분으로 각각 만든 정사각형 넓이의 합은, 길이가 같은 한 선분으로 만든 정사각형 넓이와 자른 두 점 사이의 선분으로 만든 정사각형의 넓이의 합의 두 배를 한 것과 같다.
주어진 선분 \(\rm AB\)를 중점 \(\rm C\)로 분할하고 중점이 아닌 선분 위의 다른 점 \(\rm D\)로 분할하면, 두 선분 \(\rm AD\)와 \(\rm DB\)를 각각 한 변으로 하는 정사각형들의 넓이의 합은 두 선분 \(\rm AC\)와 \(\rm CD\)를 각각 한 변으로 하는 정사각형들의 넓이의 합의 두 배이다. 즉, \(\overline{\rm AD}^2+\overline{\rm DB}^2=2\left(\overline{\rm AC}^2+\overline{\rm CD}^2\right)\)이다.
주어진 선분을 이등분하고, 이 선분과 주어진 다른 선분을 일직선이 되게 연결하면, 주어진 선분과 주어진 다른 선분을 일직선이 되게 연결하여 만든 선분으로 정사각형 넓이와 주어진 다른 선분으로 만든 정사각형 넓이의 합은 주어진 선분의 이등분된 선분으로 만든 정사각형 넓이와 나머지 이등분된 선분과 주어진 다른 선분을 일직선이 되게 연결한 선분으로 만든 정사각형 넓이의 합의 두 배와 같다.
주어진 선분 \(\rm AB\)의 중점 \(\rm C\)로 이등분하고 선분 \(\rm BD\)가 일직선이 되도록 하면, 선분 \(\rm AD\)와 선분 \(\rm DB\)로 각각 만든 정사각형들의 넓이의 합은 선분 \(\rm AC\)와 선분 \(\rm CD\)로 만든 정사각형들 넓이의 합의 두 배이다.
주어진 선분 위의 임의의 점에 대하여, 주어진 선분을 나누고 선분 전체와 나누어진 선분 중 한 선분으로 만든 직사각형 넓이와 나머지 선분으로 만든 정사각형 넓이와 같게 할 수 있다.
주어진 선분 \(\rm AB\) 위의 임의의 점 \(\rm H\)에 대하여, 선분 \(\rm AB\)와 선분 \(\rm HB\)로 만든 직사각형과 선분 \(\rm HA\)로 만든 정사각형의 넓이가 같다.
주어진 둔각삼각형에 대하여, 주어진 둔각삼각형의 둔각과 마주 보는 변(대변)을 가지고 만든 정사각형 넓이는 둔각을 끼고 있는 두 변들로 각각 만든 정사각형들의 넓이의 합보다 크다. 또한 그 차이는 둔각을 끼고 있는 한 변을 길게 늘이고 그것과 마주 보는 점에서 그 변에 수직이 되도록 선분을 그렸을 때, 그 변과 둔각의 바깥쪽에서 수선의 발에 의해 잘린 선분을 가지고 만든 직사각형의 넓이의 2배이다.
주어진 둔각삼각형 \(\rm ABC\)에서 각 \(\rm BAC\)가 둔각(\(\angle\rm BAC>90^\circ\))이라 하고 선분 \(\rm CA\)를 길게 늘이고, 점 \(\rm B\)에서 반직선 \(\rm CA\)에 수직이 되도록 선분 \(\rm BD\)를 그리면, \(\overline{\rm BC}\)를 한 변으로 하는 정사각형의 넓이는 \(\overline{\rm BA}\), \(\overline{\rm AC}\)를 각각 한 변으로 하는 정사각형의 넓이의 합보다 \(\overline{\rm CA}\)와 \(\overline{\rm AD}\)를 두 변으로 하는 직사각형 넓이의 두 배만큼 크다. 즉, \(\overline{\rm BC}=\overline{\rm BA}^2+\overline{\rm AC}^2+2\cdot\overline{\rm AC}\cdot\overline{\rm AD}\) 이어서 \(\overline{\rm BC}>\overline{\rm BA}^2+\overline{\rm AC}^2\)이다.
주어진 예각삼각형에 대하여, 그 예각삼각형의 예각과 마주보는 변을 가지고 만든 정사각형 넓이는 예각을 끼고 있는 두 변들을 가지고 만든 각각의 정사각형 넓이의 합보다 작다. 그 차이는 다른 한 꼭짓점에서 예각을 끼고 있는 변에 내린 수선의 발로 변이 나누어지게 되는데 그 변과 나누어진 변 중 예각 쪽 변으로 만든 직사각형 넓이의 두 배이다.
주어진 예각삼각형 \(\rm ABC\)에 대하여, 예각인 각 \(\rm B\)와 마주 보고 있는 변 \(\rm AC\)를 한 변으로 하는 정사각형 넓이는 예각 \(\rm B\)를 끼고 있는 두 변 \(\rm AB\), \(\rm BC\)를 가지고 만든 각각의 정사각형들을 넓이를 더한 것보다 작다. 그 차이는 다른 한 꼭지점 \(\rm A\)에서 변 \(\rm BC\)에 내린 수선의 발을 점 \(\rm D\)이라고 하면 변 \(\rm BC\)와 선분 \(\rm BD\)를 가지고 만든 직사각형 넓이의 두 배이다.
주어진 어떤 다각형의 넓이와 같은 정사각형을 작도 할 수 있다.
주어진 다각형 \(\rm PQRS\)에 대하여, 다각형 \(\rm PQRS\)와 넓이가 같은 정사각형을 작 도할 수 있다.
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