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수학사랑 이야기

동전옮기기 해설1

작성자 : 수학사랑|조회수 : 4859

해설이 늦어졌습니다.


문제1. 다음 그림과 같이 동전 4개의 중심이 정사각형을 이루도록 붙어 있다. 
  (1)  동전을 하나씩 이동하여 다음 두 조건을 만족하면서 동전 4개의 중심이 정사각형을 이루도록 하여라. 
        조건1. 하나의 동전을 이동할 때 다른 두 동전에 접해야한다.

        조건2. 동전 4개의 중심이 이루는 정사각형의 위치가 처음과 다르다. 
  (2)  이 때, 움직이는 회수가 가장 적은 것은 몇 회인가?

▶해설
  (1)  대칭성에 의하여 어느 것을 움직이나 마찬가지이다. 여기서는 4번 동전을 옮겨서

       (1,2)의 위에 옮긴다. 

    

  (2) 3을 옮기면 평행사변형이 나오므로 정사각형을 만들 수 없다. 1도 삼각형이 분리가

       되거나 4의 위치로 가므로 움직일 수 없다. 따라서, 2를 옮길 수 밖에 없다.
 
  경우1. 2가 (1,4)에 이웃하게 옮기는 경우

  

  대칭의 모양이므로 4를 (1,2)에 이웃하게 옮긴다.
  다시 2를 (3,4)에 이웃하게 옮기면 4번에 완성된다.
     

  경우2. 2가 (1,3)의 왼쪽으로 옮기는 경우 

  1이 옮겨지면 동전이 서로 분리가 되어 곤란하다. 4가 옮겨지면 평행사변형이 만들어지므로 곤란하다. 따라서 3을 옮길 수밖에 없다. 
  

경우 2-1 ; 3이 (1,2)에 이웃하게 옮기면 다음에 2를 (3, 4)에 이웃하게 옮겨서 4번에 완성된다.

  

경우 2-2 ; 3이 (1,4)에 이웃하게 옮기면 다음에 4를 (3, 2)에 이웃하게 옮겨서 4번에 완성된다.

경우3. 2가 (1,3)의 오른쪽으로 옮기는 경우
세 동전 (4, 1, 3)이 직각을 이루므로 3을 (2, 4)에 붙이면 3번에 완성된다. 

   


이상과 같이 시행착오에 의하여 퍼즐을 풀 수도 있지만 논리적으로 해결 할 수도 있다. 이런 필연의 과정을 찾아가는 것이 문제해결방법이라고 본다면 동전옮기기는 문제해결 방법의 모범사례라 할 수 있다.

문제 2. 정육각형 만들기

  동전 6개를 그림과 같이 정삼각형 모양으로 배열되어 있다.

  (1) 동전을 하나씩 이동하여 다음 두 조건을 만족하면서 정삼각형 모양을 정육각형 모양으로 만들어라.
       조건1. 하나의 동전을 이동할 때 다른 두 동전에 접해야한다. 
       조건2. 동전을 들어내지 않고 옆으로 이동해야 한다. 
  (2) 이 때, 움직이는 회수가 가장 적은 것은 몇 회인가?

▶해설

처음에 옮기는 것은 대칭성에 의하여 (1, 4, 6)과 (2, 3, 5)를 옮기는 것은 같은 조건이 된다.

1. 먼저  (1, 4, 6)중의 하나를 옮기는 경우를 생각해 보자.
    가급적 (4, 2, 3, 6)을 고정시켜 정육각형을 만들어 보자.

    1을 옮기는데 5가 빠져나오기 쉽게하기 위하여 (3, 6)에 붙인다. 
            
    5가 막히면 움직이는 횟수가 늘어나므로 5를 이동시켜 (1, 6)에 붙인다.

    이제 정육각형을 만들려면 1을 (5, 6)에 붙인다.

    계속해서  정육각형을 만들려면 5를 (1, 6)에 붙인다.

              
    이제 1을 (5, 4)에 붙이면 5회의 이동으로 정육각형이 만들어진다.

            

앞에서 문제가 해결될 수 있음을 알았다. 이제 최소 횟수를 구해보자.

2. 앞에서 (1, 4, 6)중의 하나를 옮겼으므로 여기서는 (2, 3, 5)를 옮기는 것은 경우를 생각해 보자.

대칭성에 의하여 2를  옮기는 경우를 생각하자. 2를 (4, 5)또는  (5, 6)에 접하게 옮기는 2가지 경우가 있다.

    ① 경우1; 대칭성에 의하여 2를 (5, 6)에 옮기는 경우를 생각하자.

    ② 5가 빠져나오기 위하여 3이나 4가 움직이면 된다.

     경우 2-1; 3이 (4,5,2)에 접하게 옮기면 5가 정육면체의 한 변이 되도록 (1, 6)에 접하게 움직이고, 다음에 1이 (4, 5)에 접하도록 옮기면 4번에 완성된다. (그림 ③, ④ 참고) 
        
같은 4회의 옮김으로 문제를 해결하지만 나중의 것이 더 좋은 풀이라고 생각된다. 처음의 것은 3번째에 다른 것을 건드릴 가능성이 높기 때문이다.

      

학생들이 이 문제를 풀게 되면 많은 시행 착오를 거쳐서 우연히 풀이를 찾는 경우가 많습니다. 그러나, 그 과정속에서 논리적인 사고를 거치게 되지요. 모든 경우를 확인하면서 최적의 해를 찾아 가는 것입니다. 나중에 정리해보면 당연하지만 실제로 해보면 잘 안되는 경우가 있고, 아까 해던 과정을 되풀이하거나 중요한 과정을 생략하여 최적의 풀이를 못 찾는 경우가 있습니다.

 

<참고>

 1. 풀이만 쓰면 간단한데 해설을 하다보니 길어졌습니다.

     3번 문제에 대한 해설도 같은 방법으로 하면 됩니다. 이는 다음에 올리겠습니다.

     사진을 찍고 이를 편집하는데 오류가 생겨서 늦어졌습니다.

 2. 첨부파일에는 3번 문제에 대한 답이 있습니다. 한글 파일입니다.


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