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수학사랑 이야기

모저의 원 문제(Moser's circle problem)

작성자 : 수학사랑|조회수 : 9385

이번 여름에는 방학을 하자마자 가족들과 피서를 다녀왔다. 인제군 용대리에 있는 백담사 만해마을 이란 곳에서 시원함을 맘껏 느꼈다. 그 앞 계곡에서 수학책을 읽던 중 재미있는 문제가 눈에 들어왔다.

[원을 하나 그린 후, 원 위에 점 두 개를 찍어 직선으로 연결한다. 그러면 원이 2개의 영역으로 나누어진다.
3개의 점을 찍은 후, 두 점끼리 직선으로 모두 연결시킨다. 그러면, 4개의 영역으로 나누어진다. 점을 4개 찍으면, 8개의 영역으로 나누어진다. 이제 일 때 16개의 영역이 만들어진다고 예측할 수 있다. 그리고 실제로 그렇게 된다. 이제 일 때, 32 개의 영역이 만들어지리라는 믿음에는 의심할 여지가 없을 것이다. 그러나 그렇지 않다. 정답은 31개이다.]


  

책에서 틀린 것을 찾았다. 다행이 책에는 이 문제가 모저의 원 문제(Moser's circle problem) 이라는 참고가 나온다. 인터넷에 검색하니 일반해가 나온다. 하나의 오자가 나왔을 뿐이다. 이 문제를 보니 수열 시간에 풀었던 문제가 생각났다. 문제 1이다. 이와 관련하여 다음 문제들을 풀어 보자.


문제1.

 
문제2.
원 위에 점이 4개 있으면 그 점들을 이어서 사각형을 하나 그릴 수 있다. 이 사각형에서 그을 수 있는 대각선의 수는 2개이고, 그 교점은 한 개이다. 또, 점이 5개 있으면 오각형을 그릴 수 있고, 오각형의 대각선은 5개이고 그 교점의 수는 5개이다.
그러면 원 위에 점이n개 있을 때, 그려지는n각형의 대각선의 교점의 최대 개수를 구하여라. (단,n≥4이다.)

 

문제3.
원 위에n개의 점이 있다. 이들을 연결하는 선분으로 나누어지는 영역의 최대 개수를 구하여라. 모저의 원 문제( Moser's circle problem)

참고자료
1. 데이비드, 황선욱 옮김, 수학세상 가볍게 읽기, 한승, 2007, (29쪽-30쪽)
2.
http://mathworld.wolfram.com/MosersCircleProblem.html


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