수학사랑

숫자 볼링 게임

지난 번에 소개한 매지믹서에 이어 숫자볼링게임을 소개하고자 합니다.
그 동안 개인적인 사정으로 글을 올리지 못해 죄송합니다.

대부분의 퍼즐이 기하와 관련이 되어있는데, 퍼즐책에서 다루는 것에는 대수적인 것도 많다. 그리고 계산능력을 향상하기 위한 교구로서 이만한 것을 만나기도 쉽지 않다. 그래서 초등 또는 중고등학교 교사를 위한 연수를 할 때, 대수적인 교구로 매지믹서와 숫자볼링게임을 소개했었다. 그러나 활동중심이라 글로 설명하기는 어려움이 있어 지금까지 망설였는데, 게다가 여러 가지 사정으로 늦어지게 되었다.

숫자볼링게임은 볼링의 게임 원리를 이용하여 만든 수학 게임이다.
처음에는 주사위 3개를 이용하나 이는 비교적 쉽고 게임으로는 적합하지 않아 4개를 사용하는 것을 개발하게 되었다.
1990년부터인가 어떤 계기가 되어 영재교육에 참여하게 되었다. 그런데, 당시에는 수학올림피아드 교재도 별로 없었고, 영재교육에 관련된 자료나 교구를 구하기도 힘들었다. 그래서 나름으로는 <수학적 지식은 많이 요구하지 않으면서 수학적 사고를 많이 요구하는 문제>를 가지고 교육을 해보자고 하였다. 그러나 이러한 소재를 찾는 것은 대단히 힘든 일이었고, 매번 새로운 소재를 얻는데 어려움을 겪고 있었다. 그러던 중에 권오남교수(당시에는 이화여대 교수였으나 현재는 서울대 교수임)가 <숫자볼링게임>이란 제목으로 수학사랑13호에 게시한 글을 읽고 이를 활용해보기로 하였다. 

그 방법이 볼링에서의 점수기록방법을 수학게임에 활용하는 것이었는데 참 신선하게 느껴졌다. 하는 원리는 주사위 3개를 굴려 나온 눈에 해당하는 수에 사칙연산(더하기, 빼기, 곱하기, 나누기)를 사용하여 1부터 10까지의 자연수를 만드는 것이다. 그러면 그 수에 해당하는 수에 대한  볼링 핀을 쓰러트리는 것으로 간주하여 점수를 얻는다.

예를 들면, 3, 4, 6이 나왔다고 하면

과 같이 계산하면 된다.

이와 같은 방법으로 하는데, 한 번에 1부터 10까지의 수를 다 맞추지 못하면 한 번의 기회를 더 가진다. 볼링에서 스페어처리하는 것과 같이. 물론 여기서는 주사위를 다시 던져 새로운 수를 가지고 앞에서 맞추지 못한 수를 맞추는 것이다.

[학생용 활동지]

1. 준비물
   (1부터 6까지의 수가 있는)주사위 3개,  2색 이상의 필기구, 점수 기록지(첨부)

2. 게임 방법
    주사위 3개를 던져 나온 눈을 가지고 사칙연산을 써서 1부터 10까지의 수를 만들면 그 수에 해당하는 수를 지운다. 이는 볼링의 핀을 쓰러트리는 것으로 간주하여 점수를 얻는다. 즉, 볼링의 게임 원리를 이용하여 만든 수학 게임이다. 한 프레임(이를 한 회전이라고 하자.)에 2번까지 던질 수 있는 데 1번에 모든 수를 다 구하면 스트라이크, 2번에 모든 수를  구하면 스페어 처리한 것으로 간주하여 점수기록지에 점수를 기록한다. 

3. 게임 순서
    (1) 주사위 3개를 던진다. 
    (2) 나온 눈을 점수 기록지에 쓴다.
    (3) 이 3 수를 가지고  사칙연산(＋, －, ×, ÷)만을 사용하여 1부터 10까지의 수를 만든다.
    (4) 처음에 맞춘 수들의 개수를 적는다. 처음에 10가지의 수를 모두 다 맞추면 스트라이크이다.   
    (5) 다 맞추지 못한 사람들 중의 한 사람이 주사위 3개를 던진다. 나온 눈을 조금 전에 사용한 필기구와 다른 색의 필기구로 점수 기록지에 쓴다. 조금 전에 맞추지 못한 수를 만든다. 이렇게 하여 다 맞추면 스페어 처리를 한 것으로 간주하여 점수 기록지에 점수를 기재한다.
    (6) 한 번에 10가지의 수를 모두 맞춘 스트라이크는 그 다음에 계산한 두 번의 점수를 더한 점수가 그 프레임(회전)의 점수이다. 스페어 처리를 하면 그 다음에 계산한 한 번의 점수를 더한 점수가 그 프레임의 점수이다. 
    (7) 이렇게 4프레임에서 10프레임 정도를 시행하여 그 때까지의 점수가 가장 많은 쪽이 이긴다.

4. 이 게임의 특징
    (1) 사칙연산과 여러 가지 경우를 생각해야 하므로 계산이 빨라지고 사고가 유연해 진다.
    (2) 사전에 볼링 점수 기록 방법을 알아야 하므로 준비 시간이 많이 필요로 한다. 스트라이크와 스페어 처리를 한 경우의 점수를 어떻게 부여하는지 잘 이해하여야 한다.
    (3) 서로 어떤 방법으로 풀었는가를 서로 비교해보고 자신이 잘 못한 것을 배우므로 사고의 폭이 넓어지고 다른 사람을 인정할 수 있다.
    (4) 스트라이크가 잘 나오지 않는다. 
    (5) 어떤 전략으로 해결하는 것이 좋은가를 말해 보도록 한다.

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그런데, 주사위를 3개만 사용하는 경우는 스트라이크가 잘 나오지 않아 게임의 재미가 덜 하다. 더욱이 스페어 처리도 잘 되지 않는다.
실제로 스트라이크가 나오는 경우는 딱 1가지밖에 없다. 그래서 같은 상항에서 주사위 4개를 사용해 보았더니 너무 자주 스트라이크가 나왔다. 그러다 보니 점수 차이가 거의 없어 게임으로서의 재미가 반감되었다. 그래, 주사위 4개를 쓰면서  연산이 있는 주사위를 추가로 사용하게 되었다. 그랬더니 좀 더 재미가 있었다. 그리고 이 결과를 수학사랑14호에 <숫자볼링게임2>라는 제목으로 기고하게 되었다.

게임 방법은 주사위 3개를 던져 하는 게임과 유사하다.
주사위 4개와 사칙연산이 있는 주사위 1개를 이용, 사칙연산이 있는 주사위 (＋, -, ×, ÷ 가 있는 주사위)를 던져 나오는 연산을 반드시 사용한다.
예를 들면, 3, 4, 4, 6 과 ÷가 나왔다고 하자. 그러면 다음과 같이 반드시 나눗셈이 들어가야 한다.

물론 이 경우도 스트라이크가 잘 나온다고 장담할 수는 없다. 그러나 대부분의 경우 스트라이크가 나올 수 있다. 그러나 이를 맞추기는 쉽지 않다. 그래서 잘 하는 사람과 못하는 사람의 점수 차가 게임에 적당할 정도로 나타난다.

[학생용 활동지]

숫자 볼링 게임(2)

1. 준비물
    (1부터 6까지의 수가 있는)주사위 4개, 사칙연산이 있는 주사위 1개, 2색 이상의 필기구, 점수 기록지(첨부)

2. 게임 방법
주사위 3개를 던져 하는 게임과 유사하다.주사위 4개와 사칙연산이 있는 주사위 1개를 이용, 사칙연산이 있는 주사위((＋, -, ×, ÷ 가 있는 주사위)를 던져 나오는 연산을 반드시 사용한다.
예를 들면, 3, 4, 4, 6 과 ÷이 나왔다고 하자. 그러면 다음과 같이 반드시 나눗셈이 들어가야 한다.

3. 게임의 특징
   (1) 스트라이크가 잘 나온다.
    (2) 시간이 많이 필요하다. 한 번 시행에  5분 정도는 필요하다. 물론 스페어 처리를 할 때에는 남아 있는 것만 풀면 되므로 시간을 적게 주어진다.
    (3) 주사위 3개 이용한 것을 한 다음 충분히 실시한 다음에 해야 할 것이다.

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여기서 실제로 학생들과 수업을 하면서는 연산주사위로 정육면체를 사용했다. 그 연산주사위에는 등호(=)와 부등호(>)가 있었는데, 이것이 나오면 이를 꽝이라 하여 영어 w로 나타내고 이것이 나오면 연산 3개를 사용하되 3개의 연산이 모두 다르도록 하였다. 그런 상황이 되어도 스트라이크는 나올 수 있으나 좀 더 많은 경우를 생각해야만 했기에 영재학생들은 대단히 어려워하면서도 즐거워했던 기억이 난다. 나중에 과학고 1학년 학생들을 대상을 이 게임을 했었을 때, 대단히 재미있어하고, 나중에도 이 게임을 계속하고자 했었다. 
아래의 기록지는 영재학생을 대상으로  실제 수업한 것 중에서 일부를 적어본 것이다.
주사위에서 아래에 적힌 것은 스페어 처리를 위한 조건이다. 이를 앞에서의 것과 구별하기 위하여 청색이란 필기구를 사용한 것이다. 실제로 활동을 할 때에는 서로 다른 필기구를 사용하면 될 것이다.

수업활동을 글로서 적으려니 잘 전달이 안되는 것 같기도 하지만 이제 마무리 하고자 한다. 
이를 수업을 하게나 게임을 하기 위해서는 학생이 볼링에서 점수를 어떻게 기록하는지  그 원리를 이해하여야 편리하다.
그리고 난이도를 보면 처음에는 주사위 3개를 사용하는 것을 1시간 정도에서 2시간 정도 시행한다. 보통 4프레임이나 5프레임정도 운영하면 좋다. 처음의 것은 3분 정도 시간을 주고 스페어 처리를 할 때에는 2분정도 시간을 주면 적당하다. 이는 게임의 원리와 점수 기록방법에 익숙하게 하고자 함이다.
그리고 주사위 4개를 사용하는 것을 1시간이나 2시간 정도 실시한다. 이 때, 처음의 것은 4-5분 정도 시간을 주고 스페어 처리를 할 때에는 2-3분정도 시간을 주면 적당하다.
그 다음에 주사위 4개와 연산 주사위를 사용하면 된다.
이 때, 처음의 것은 5분 정도 시간을 주고 스페어 처리를 할 때에는 2-3분정도 시간을 주면 적당하다. 문제의 난이도에 따라 교사가 적당하게 조절하면 된다.

마지막 연산주사위가 있는 것은 5프레임이상 하여야 점수 차가 적당하게 벌어진다.

나중에 매지믹서는 5개의 주사위에 나온 수를 가지고 계산하는 것이므로 숫자볼링게임을 먼저 하고 나중에 매지믹서를 실시하면 단계적으로 작업이 이루어지는 것이다. 연산주사위와 주사위 4개를 준비하기 어려우면 매지믹서를 가지고 숫자볼링게임을 할 수도 있다.

<발전과제>
1. 스트라이크가 나오는 경우는 있는가? 있다면 어떤 경우인지 구해보도록 하자.