1975년 경주 안압지 발굴에서 출토된 주사위는 보통 우리가 보아 온 6면체가 아닌 14면으로 된 특이한 것이다. 통일신라 시대(7-9세기)의 유물인 이 주사위는 6개의 정사각형인 면과 8개의 육각형인 면을 가지고 있다. 주사위의 각 면에는
임의청가(任意請歌, 임의대로 노래 청하기), 삼잔일거(三盞一去, 석 잔을 한 번에 보내기), 금성작무(禁聲作舞, 소리내지 않고 춤추기), 음진대소(飮盡大笑, 다 마시고 크게 웃기) 농면공과( 弄面孔過 얼굴 간질러도 꼼짝 않기 ), 임의청가( 任意請歌 누구에게나 마음대로 노래시키기 ), 월경일곡 ( 月鏡一曲 월경 한 곡조 부르기 ), 공영시과 ( 空詠詩過 시 한수 읊기)
등 술자리 놀이와 관계된 모두 14개의 한자어구들이 음각돼 있다. (참고문헌1)
이는 나무로 만든(木製) 술 먹을 때 (酒) 놀던 주사위(令具)라 해서 목제주령구라고 이름을 지었다. 이를 수학적인 의미가 있게 하려면 이름을 신라주사위나 안압지주사위로 하는 것이 어떤가 싶다. 영어로는 KOREAN DICE 또는 SILLA DICE(KOREAN-SILLA DICE)라고 해서 세계에 적극적으로 알렸으면 좋겠다. 이는 정다면체가 아니면서 주사위다면체에도 포함되어 있지 않으면서 각 면이 나올 확률이 같은 세계적으로 유래가 없는 것이기 때문이다.
이 목제주령구(신라주사위)는 수학과 관련된 우리의 자랑스런 문화이다. 그럼에도 아는 사람이 별로 없다. 그런 의미로 여기에 소개하고자 한다. (아래 그림은 참고문헌 1에서 복사)
목제주령구의 각 면의 넓이를 계산하면, 정사각형의 넓이는 6.25㎠, 육각형의 넓이는 6.265이다. 넓이의 비에 따른 확률이 14면 주사위의 수학적 확률이다. 따라서 주사위를 굴렸을 때 각 면이 나오는 확률이 거의 같을 것으로 기대가 된다. (참고문헌2)
그런데, 실제로 실험을 해 본 결과 각 면이 나타날 확률이이라는 결론에 이르렀다.
따라서 유의수준 5%에서 확률이 같다고 할 수 있다. (참고문헌3)
수능시험에도 출제된 적이 있지만, 정육면체를 절단한 단면이 어떤 면이 만들어지는가 하는 문제에서 특이한 것 중의 하나가 정육각형이 만들어진다는 것이다.
그림과 같이 윗면의 이웃한 두 변의 중점을 연결한 선분과 아랫면에 대각선 방향에 있는 두 변의 중점을 연결한 선분으로 이루어진 평면으로 자르면 그 단면이 정육각형이 나온다.
영국의 펭귄북에서 나온 어떤 책(참고문헌4)에서 이런 정육면체 절단에서 정육각형이 나오는 도형을 이용하여 정사각형과 정육각형으로 이루어진 준정14면체를 구성하는 것을 보았다.
이를 보면서 안압지주사위를 이와 같은 원리로 잘라내면 되겠구나 하는 생각이 들었다. 그래서 이를 계산하였다.
그림에서와 같이 한 변의 길이가 4.1㎝인 정삼각형의 각 꼭지점에서 0.8㎝를 잘라내면 긴 변이 2.5㎝인 육각형 모양을 만들 수 있다. (참고문헌5) 아래 그림에서는 대략적인 넓이를 비교하였다. 실제로 정사각형의 넓이는 6.25㎠, 육각형의 넓이는 6.265이다.
이런 원리를 이용하여 정육면체에서 다음과 같이 계산하여 절단하는 방법을 구하였다.
이므로 이를 풀면 이제 한 변의 길이가 2.343인 정육면체를 잘라 같은 모양 8개를 붙이면 신라주사위를 만들 수 있다. 그런데, 이는 너무 작아서 실물을 한 변의 길이를 2배로 하여 만들었다.
사진의 나무로 된 신라주사위는 실물크기이고, 아크릴 필름으로 만든 것은 한 변의 길이를 2배로 한 것이다. 즉, 전체 부피는 8배이다.
이런 원리를 이해하고 그 당시에 만든 것인지 아니면 수학적 원리를 이해하고 만든 것인지 신라주사위를 처음으로 만든 이-그가 목수일 지도 모른다-가 어떻게 그런 생각까지 할 수 있었을까 하는 의문이 남는다. 이런 것이 기록이 있다면 얼마나 좋으련만. 그래서 오래전부터 이에 대한 비밀을 풀고 싶었는데, 어느 정도는 해결이 된 느낌이다. 그럼에도 아직도 일반에게는 잘못 알려진 것이 너무 많다.
쿠복타헤드론( Cuboctahedron)을 목제주령구라 하는 책이 있는데, 이는 잘못이다. 더우기, 신라주사위( 그 책에서는 안압지주사위라고 하였다)를 던지면 『정사각형 모양으로 된 면이 육각형 모양으로 된 면보다 바닥에 닿을 확률이 더 높다고 한다』라고 소개한 교과서(참고문헌 6)도 있다. 이는 위의 논문(참고문헌3)의 실험에서 확인한 것처럼 잘못이다. 이는 쿠복타헤드론을 목제주령구라고 한 사이트를 바탕으로 해서 작성한 글이기 때문이 아닐까 생각이 된다.
이 글이 이런 오해를 해결하는데 도움이 되고 우리 선조의 위대함을 학생들이 느끼기를 바란다. 마지막으로 교사로서 수업에 활용하는 방법을 생각해 보았다. 그래서 다음과 같은 수학활동을 만들어 보았다.
활동. 신라 주사위에서 각 면이 나올 (통계적)확률 확인하기
1. 다음과 같은 두 개의 14면체 전개도로 주사위를 만들어보자.
(1) 쿠복타헤드론( Cuboctahedron)
(2) 신라주사위
2. 각각을 14회씩 던져서 각 면이 나온 횟수를 조사하여 보자. (여기서는 위에 나타나는 도형을 사각형과 육각형으로만 나타내자.)
3. 어떤 것을 주사위로 사용하는 것이 더 합리적인가?
<참고문헌> 1. 이강섭 외, 수학1(7차고등학교 교과서) pp219, (주)지학사, 2002 2. 고상숙(단국대), 김영남, 강흥수(단국대 대학원), 우리의 전통적 교구 목제주령구의 현대적 활용방안, 한국수학교육학회지 시리즈 E 제 11집. 3. 박한식, 14면체 주사위 , 한국수학교육학회 25호, 1987년 5월 4. David Wells, You are a mathematician, Penguin Books, 1995 5. 김흥규, 생활속의 과학, 한겨레신문 20040229. 6. 강행고 외, 수학 8-나(7차 중학교 교과서) 22쪽, (주)중앙교육진흥연구소, 2005
