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수학사랑 이야기

왜 부등식의 성질은 등식의 성질과 다른가

작성자 : 수학사랑|조회수 : 6110

따짐이: 지난번에 등식의 성질에 대해 말씀해 주신 것 감사했어요. 등식의 성질이라 부르 
          는 것은 결국 함수의 성질이라는...

선생님: 그렇게 요약할 줄 아는 것을 보니 정말 잘 이해했나 보구나. 오늘은 무슨 질문이지?

따짐이: 등식의 성질이 그런 것이면, 부등식의 성질도 비슷한 것인가요?

선생님: 글쎄...  보기에 따라서는...

따짐이: 그것들이, 다 똑같은데 부등식은 양변에 ‘음수’ 를 곱하면 부등호의 방향이 바뀐다
           는 것만 다르잖아요?

선생님: 그래서?

따짐이: 그게 과연 뭔가 근본적으로 비슷한 것이라서 그런 건가요, 아니면 우연히 결과만
           비슷한 건가요?

선생님: 너는 어떻게 생각하니?

따짐이: 등식의 성질과 부등식의 성질은 뭔가 근본적으로 다른 것이라고 생각되는데요.

선생님: 왜 그렇지?

따짐이: 등식의 성질은 하나의 깨끗한 법칙이죠. 같은 수에 같은 일을 하면 그 결과가 같다. 
           물론 그 ‘일’이 ‘함수’ 여야 하겠지만요. 그런데 부등식의 성질은 대소관계에 대한
           것인데 어떨 때는 대소관계가 그대로고, 어떨 때는 뒤집히고, 그 때 그 때 달라서
           뭔가 지저분한 느낌이...

선생님: 다른 건 사실이지.  등식은 ‘같음’에 대한 이야기이고, 부등식은 ‘순서’에 대한 이야
           기이니까.  같다는 것이 크고 작음보다는 더 근본적인 성질이겠지. 하지만 좀 더
           범위를 넓혀 생각하면 등식의 성질과 부등식의 성질은 또 통하는 면이 있지.

따짐이: 넓게 생각한다면...  등식의 성질에서, 양변에 같은 수를 더하거나 빼거나 곱하거나
           나누거나 하는 것뿐만 아니라 다른 함수를 적용시킬 경우를 생각했듯이 말이지요?

선생님: 그래.

따짐이: 음...   일 때, 양변에 같은 수를 더하면, 이런 것이 아니라, 양변에 같은 함수를
           적용하면?

선생님: 그렇지!

선생님: 없지.  하지만 어떨 때는 그렇게 말할 수 있지.

선생님: 그렇지.  바로 그래.

따짐이: 그런데 그건 부등식의 성질을 함수 기호를 써서 나타낸 것밖에 안 되는 것 같은데요?

선생님: 아니지.  어떨 때는 대소관계가 그대로고, 어떨 때는 대소관계가 바뀌는데, 그 ‘어
           떨 때’ 에 해당하는 것이 무엇이냐는 것이 분명해지지 않았니?

따짐이: 글쎄, 저한테는 별로 분명하지가 않... 아, 그렇군!  결국 함수가 어떤 것이냐에 따
           라 부등호의 방향이 달라지는 것이군요.

선생님: 바로 그거야.  어떤 함수는 대소관계를 그대로 유지시키고(어려운 표현으로는 ‘보
          존하고’), 어떤 함수는 대소관계를 뒤집고, 어떤 함수는 그 어느 쪽도 아닌 것이지.

따짐이: 그렇다면... 어떤 수를 더하거나 빼는 함수, 양수를 곱하거나 나누는 함수는 모두
           대소관계를 보존하는 함수고, 음수를 곱하거나 나누는 함수는 대소관계를 뒤집는
           함수다...

선생님: 그렇지.

따짐이: 이렇게 말하니까 뭔가 있어 보이네요.

선생님: 하지만, 그것뿐이라면 별로 쓸모는 없어. 어떤 수를 더하는 것이 대소관계를 보존
           하는 함수라는 말은 부등식의 양변에 같은 수를 더하면 부등호의 방향이 바뀌지
           않는다는 말을 좀 어렵게 한 것뿐이니까.

따짐이: 듣고 보니 또 그렇네.

 

선생님: 하지만 함수의 그래프를 생각해 보면
           어떤 것이 대소관계를 보존하는 함수
           이고 어떤 것이 대소관계를 반전하는
           함수인지 쉽게 알 수 있지.  대소관계
           를 보존하는 함수란, 결국 큰 값을 넣을
           수록 큰 값을 내놓는 함수이기 때문에
           그래프를 그려 보면 왼쪽 아래에서 오
           른쪽 위를 향하는 그래프가 되지. 
           대소관계를 뒤집는 함수는 왼쪽 위
           에서 오른쪽 아래를 향하는 그래프
           가 되고.

 

따짐이: 호오, 그렇다면... 어떤 수를 더하거나, 빼거나, 곱하거나, 나누는 것은 모두 일차
           함수니까 그래프가 모두 직선이고, 기울기가 음수가 되는 같은 경우만
           대소관계를 뒤집는 함수, 나머지는 대소관계를 보존하는 함수...  말 되네.

선생님: 아주 말이 잘 되지.  수학 용어로는 우리의 ‘대소관계를 보존하는 함수’ 를 ‘순증가
           함수’ 라고 하고 ‘대소관계를 뒤집는 함수’ 를 ‘순감소함수’ 라고 하니까, 그 용어를
           사용해서 부등식의 성질을 다시 말해 볼 수 있겠지?

따짐이: 어떤 수를 더하거나 빼는 함수는 순증가함수, 양수를 곱하거나 나누는 함수도 순
           증가함수, 음수를 곱하거나 나누는 함수는 순감소함수.

선생님: 그래.  이것도 결국 함수에 관한 문제야.  함수의 정의 자체는 ‘같음’ 을 보존한다는
           것이었지.  원래 같았으면 함수를 작용한 뒤에도 같다고 말이야.  그 함수에 대소
           관계를 보존한다는 조건을 붙인 것이 순증가함수인 것이지.

따짐이: 원래 더 컸으면 순증가함수를 작용한 뒤에도 더 크다?

선생님: 그래.  꼭 대소관계뿐만이 아니라 일반적으로 어떤 관계나 성질을 ‘보존’ 하는 함수
           들이 수학에서 중요한 역할을 하는 경우가 많고, 그런 함수들은 연속함수니 일차
           변환이니 하는 특별한 이름으로 불리게 되지.  대상들 사이의 관계, 그리고 그것들
           에 어떤 변화가 생겼을 때(즉 함수를 작용했을 때) 그 관계가 어떻게 되는가를 살
           펴보는 것은 수학에서 하는 아주 중요시되는 일 중 하나이니까.


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