수학사랑

따짐이: 선생님, 0.999999… 는 정확히 1 인가요?

선생님: 그래.

따짐이: 정말? 진짜?

선생님: 갑자기 왜 이러니?  교과서에서도 나오잖아?

따짐이: 그래요. x 를 0.999999… 라 하면 그 10 배인 10x 는 9.99999… 이고 그것들을 빼면 9x 가 9.99999… 에서 0.99999… 를 뺀 것이니까 9 와 같다.  즉 9x = 9 이니까 x = 1 이다.

선생님: 잘 아는구만.

따짐이: 그런데 뭔가 속는 것 같다니까요.

선생님: 그래?

따짐이: 우선, 0.99999… 에서 소수점 뒤에 있는 것하고 그것을 10배 해서 나온 9.99999… 에서 소수점 뒤에 있는 것하고 정말 같을까요?  9가 하나 적지 않을까요?

선생님: 어차피 무한인데 하나 적어 봐야 똑같은 거지.

따짐이: 바로 그거예요.  '어차피 무한인데' 라니, 전혀 수학적이지 않잖아요?

선생님: 아까, 속는 것 같은 기분이 든다고 했지?

따짐이: 예.

선생님: 그 말이 맞아.  중학교 2학년(8-가 단계)에서는 모든 것을 가르쳐 주지 않고 슬쩍 지나가는 것이 있지.  그것 때문에 뭔가 속는 것 같은 느낌이 드는 거고.

따짐이: 그게 뭔데요?

선생님: '…' 의 의미.

따짐이: 예? '…' 의 의미?  그 '…' 이 문제의 핵심이라는 건가요?

선생님: 맞아.

따짐이: 하지만 그건, 9 라는 숫자가 무한히 계속 나온다는 뜻 아닌가요?

선생님: 무한히 계속 나온다고? 전혀 수학적이지 않잖아?  그게 정확히 무슨 뜻이지?

따짐이: 오호…

선생님: 무한이라는 것은 수학에서 매우 조심스럽게 사용해야 할 개념이야.  적어도 보통의 수처럼 자유롭게 다룰 수는 없지.  예를 들어 무한 개에서 무한 개를 빼면 몇 개인가?  무한대를 무한대로 나누면?  이처럼, 무한이 관련된 것은 정확히 정의하지 않으면 모순이나 혼란에 빠지게 돼.

따짐이: 정의를 잘 한다고 그런 모순이나 혼란이 없어질까요?

선생님: 모순과 혼란이 없이 무한에 관련된 것들을 정의하다 보면 그 정의라는 것이 상식에서 벗어나기도 하고, 매우 먼 길을 돌아서 가야 하기도 하지.  예를 들면 '무한집합' 이라는 것이 있지?  그 정의가 무엇이라고 생각하니?

따짐이: 원소의 개수가 무한인 집합.

선생님: 라고 하는 것이 상식에는 맞지. 하지만 수학적인 정의는 그게 아니야.  자기 자신과, 그것의 어떤 진부분집합 사이에 일대일 대응이 존재하는 그런 집합을 무한집합이라고 하지.  예를 들어 정수의 집합과 자연수의 집합 사이에 일대일 대응이 존재하기 때문에 정수의 집합을 무한집합이라고 하지.

따짐이: 무엇 때문에 그런 해괴한 짓을?

선생님: 말했잖니.  모순이나 혼란이 없도록 하기 위해서라고.  무한집합을 '원소가 무한 개인 집합' 이라고 하면 그 정의 자체에 무한이라는 말이 들어가 있기 때문에 사실 무한의 개념을 어물쩍 넘어가 버린 것이야.  마치 0.99999… 의 '…' 부분을 9가 무한히 반복된다는 뜻이다 하고 넘어가 버린 것처럼.  그런 식으로 계속 나가면 나중에 낭패가 되기 십상이지.

따짐이: 그렇다면 본론으로 돌아가서, 0.99999… 의 '…' 은 무슨 뜻인가요?

선생님: 0.99999… = 0.9 + 0.09 + 0.009 + 0.0009 + …   이것이 0.99999… 의 정의야.

따짐이: 0.99999… 는 0.9 + 0.09 + 0.009 + 0.0009 + …  를 줄여서 쓴 것이다?  그런데 나중 식도 역시 그런 식으로 무한히 더한다는 뜻 아닌가요?  그럼 마찬가진데.

선생님: 물론 그렇지.  하지만 나중 식은 ‘무한급수’ 라는 것이고, 그 값(합)은 수학적으로 정의되지.

따짐이: 무한급수라면, 고등학교 수학I 에 나오는…

선생님: 그래.  무한급수의 합은 결국 부분합의 수열의 극한, 여기서는 수열 0.9, 0.99, 0.999, 0.9999, … 의 극한이고, 그 극한은 1 이지.

따짐이: 휴, 드디어 1 이 나왔나?

선생님: 그렇지. 0.9, 0.99, 0.999, 0.9999, … 의 극한이 1 이라는 사실을 0.99999… = 1 이라고 쓰는 거야.

따짐이: 어떤 사람들은 0.99999… 는 ‘아직 완성이 안되었으므로’ 1 이 될 수 없다고 하더군요.  근사값일 뿐이라고 하기도 하고.

선생님: ‘…’ 의 의미를 모르면 그럴 만하지.  하지만 이미 말했다시피 ‘…’ 은 결국 어떤 수열의 극한을 뜻하는 기호이고, 이 경우 그 극한값은 정확히 1 이야.

따짐이: 그런데, 수열의 극한의 개념은 수학적으로 정확한 것인가요?  어떤 값에 ‘계속 가까워진다’ 같은 표현은…

선생님: 좋은 질문이야. 수열의 극한을 정의할 때 ‘한없이 가까워진다’ 는 식으로 말하는 것 역시 무엇인가 두리뭉술하게 넘어가고 있는 거야.  그렇게 넘어가는 이유는 극한을 정의할 때 쓰이는 ‘엡실론-델타(ε-δ) 논법’ 이라는 것이 고등학교 교과서에는 맞지 않기 때문이고.

따짐이: 엡실론-델타 논법? 어디서 들어본 것 같기도 한데요?

선생님: 무한히 많다, 무한히 가까워진다는 등의 애매한 표현을 쓰지 않아도 되도록 해 주는 아주 중요한 개념이고, 좀 더 높은 수준의 수학을 공부하기 위해서는 반드시 알아야 할 내용이야.  일단 이해하면 아주 유용하고 재미있지만, 그렇게 될 때까지는 쉽지 않은 과정을 거쳐야만 하지.

따짐이: 결국, 무한소수 하나를 제대로 이해하려고 해도 대학까지 가야 한다는 말이군요.

선생님: 그래.  그래서 학교에서는 어느 정도 적당히 넘어가는 일이 많아.  엄밀한 수학적 증명 같은 것보다 그 내용을 알거나 응용하는 것이 중요할 수도 있기 때문에. 하지만 자세히 살펴보면 수학만 그런 것도 아니야.  수학에서는 서로 다른 내용들 사이의 관계가 매우 중요하기 때문에 두드러지는 것이고, 학교에서 한정된 시간 안에 사회가 요구하는 수준의 공부를 하다 보면 어떤 과목에서건 그런 일은 당연히 일어난다고 봐야겠지.