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수영장에서의 수학 2

작성자 : 수학사랑|조회수 : 8759

앞에서 다른 수영장의 위험지역과 모래실험은 도대체 어떤 관계가 있을까?

이 이야기는 참 우연한 기회에 얻은 행운의 여신이 보내준 선물이었다.

3여년 전쯤 수학문화원 연구팀의 모임에서 방심 모래실험과 수영장 문제를 소개하였다.

수영장 문제의 풀이에 대하여 함께 논의하던 중 한 분 (송영준샘?)이

"혹시 모래실험과 관계가 있는 것 아닐까?"

라는 의문을 제기하였다.

그리고 곧 모래산의 높이가 제일 높은 곳이 수영장에서의 위험지역이라는 것을 알게 되었다.

즉, 수영장에서 위험지역이라는 것은

수영장의 변에 이르는 거리가 가장 멀다는 뜻이고,

모래선에서 높이가 제일 높은 곳은 판의 변에 이르는 거리가 가장 멀다는 의미이다.

이제 판 위에 생기는 모래실험에서의 모래산의 높이에 새로운 의미를 부여하게 된 것이다.

직사각형과 평행사변형 모양의 수영장의 위험지역은 선분이고,

맨 오른쪽 사각형 모양의 수영장에서의 위험지역은 한 점이다.

그렇다면 처음의 수영장 문제의 수영장에서의 위험지역은 모래실험으로 어떻게 나타날까?

아마도 밑면으로부터 제일 높은 곳이 가장 위험한 곳이 될 것이다.

<2009년 8월 수학문화원에서 열린 제2회 수학문화축제 워크숍에서 찍은 사진>

사실은 모래실험만으로는 모래선이 직선이 아닌 경우 어떤 곡선인지 판단하는 것은 그리 쉽지 않다.

따라서 수학적인 추론이 필요하다.

다음과 같이 각의 이등분선으로 생기는 모래선은 쉽게 알 수 있다.

다만 완성하지 못한 곳은 어떤 곡선이 그려질까?

ㄱ 자로 꺽어지는 곳의 점과 위쪽 또는 오른쪽 변에 이르는 거리가 같아야 되므로

꺽어지는 곳의 점을 초점, 위쪽 또는 오른쪽 변을 각각 준선으로 하는 포물선이 그려진다.

자 이제 수영장의 위험지역은 두 포물선의 교점임을 알 수 있다.

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