수학사랑

고등학교 수학의 이곳 저곳에서  "ax₁+by₁+c" 모양의 식이 점(x₁, y₁)와 관련하여 등장한다.

오래전부터 이 식의 기하적 의미에 관심을 두고 생각해 오다 얼마전에 깨달았는데

이 문제의 본질은 직선의 벡터적 해석이다.
다음 그림에서 직선 위의 임의의 점 P와 법선벡터 ON에 대하여 두 벡터 OP와 ON의 내적은 항상 일정하다.

왜냐하면  점 P의 위치에 관계없이 선분 OP의 선분 ON의 연장선에 대한 정사영은 선분 OH이므로 두 벡터 OP와 ON의 내적은 항상 두 선분 OH와 ON의 곱이기 때문이다.

여기서 부호는 법선벡터의 방향에 따라 결정되므로 거리는 분자에 절대값을 택하면 된다. 

 마찬가지로 아래 그림에서 벡터 AP와 법선벡터 AN'의 내적은 항상 일정하고,

 그 값은 법선벡터의 크기와 점 A에서 직선에 이르는 거리   d 즉, 선분 AH' 의 곱이다. 

부호는 법선벡터의 방향이 결정하므로 거리는 항상 양수가 되도록 절대값을 붙이면 된다.