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0.999...=1

작성자 : 수학사랑|조회수 : 1531

소수는 수의 표현 방법일뿐입니다.

3/4 과 같이 쓰면 이것은 소수가 아닙니다. (정확히는 "소수로 표현되지 않았다")
0.75 와 같이 쓰면 이것은 소수입니다. (정확히는 "소수로 표현되었다")

이들은 같은 수입니다. 즉, 하나의 수는 추상적인 대상이고 그것을 두 가지(또는 그 이상의) 형태로 "표현" 할 수 있을 뿐입니다. 한마디로 어떤 수가 "소수이냐 아니냐" 를 물어 보는 것은 잘못입니다. 이것은 마치 베토벤의 합창 교향곡이 CD 냐 아니냐 하고 물어 보는 것과 같습니다. 따라서 위의 문제는 잘못입니다. 반면, "유리수" 라는 것은 그 추상적인 "수" 를 분류한 것이기 때문에 "다음 중 유리수인 것은?" 과 같은 물음은 타당합니다.


이제 0.9999... 에 대한 혼란에 대해 생각해 보겠습니다. 사실 이 표현을 상식적으로 이해할 수 있다고 생각하는 자체가 잘못입니다. 왜냐하면 0.9999... 의 ... 부분에는 "무한히" 많은 9 가 있다(고 생각하)는 것이며 그것은 그 9 를 쓴 종이로 우리가 아는 우주를 가득 채워도 아직도 "무한히" 많은 9 를 써야 한다는 것인데 인간은 그런 것을 완전히 파악할 수 없고 수학이라고 해서 그런 것을 직접 다룰 수 있는 것은 아닙니다. 다만 "극한" 이라는 다소 인위적인 개념을 가지고 그것을 간접적으로 다룹니다.

한마디로 0.9999... 라는 표현은 정말 소숫점 뒤에 9 가 무한히 온다는 것이라기 보다는, 다음과 같이 인위적으로 정의됩니다.

0.9
0.99
0.999
0.9999
...

와 같이 나가는 수들 (수열) 은 결국 하나의 수, 여기서는 1 에 계속 가까워집니다. 물론 2 에도 계속 가까워지지만 2 와는 어느 정도 이상의 거리를 계속 유지하는 데 비해 1 과는 그렇지 않습니다. 그런가 하면 0.9995 라는 수와는, 처음에는 가까워지다가 나중에는 점점 멀어집니다. 즉, 1만이 이 수열을 빨아들이는 듯한 성질을 가지고 있습니다. 이런 상황을 가리켜 위 수열이 1 에 "수렴한다" 고 하고, 1 을 그 수열의 "극한" 이라고 합니다.

다른 방법으로 다시 말하자면, 위 수열을 수직선 위에 점으로 찍어 나갑니다. 이제 1 이라는 수 주변에 새까맣게 점 찍힌다는 것을 알 수 있습니다. 정확히 말해, 1 이라는 점 주변에 아무리 작은 원을 그린다고 하더라도, 그 원 바깥에는 유한개만이 존재합니다. 이런 상황을 가리켜 저 수열은 1에 "수렴한다", 또는 저 수열의 "극한"이 1 이다 라고 하는 것입니다.

이제 0.9999... 라는 표현이 나타내는 값은 (0.999 나 0.9999999999999 와 같은 유한소수와는 달리) 저 수열의 극한 이라고 "정의" 됩니다. (물론 다른 무한소수 역시 이런 식으로 극한을 가지고 정의됨) 극한이라는 말의 뜻에 의해 이 수열의 극한은 1 이고, 그것이 0.9999... = 1 이라는 말이 의미하는 것입니다.

요약하면 다음과 같습니다.
(1) 유한소수와 무한소수는 사실 근본적으로 다른 "표현 방법"이다.
(2) 예를 들어 유한소수 0.45 의 값은 4/10 + 5/100 로 하면 잘 정의된다.
(3) 그러나 0.454545... 라는 무한소수의 값은 0.45, 0.4545, 0.454545,... 로 나가는 수열의 극한으로서 "정의" 된다. (각각의 소수는 유한소수이므로 (2) 에서와 같이 정의)
(4) 이런 무한소수 표현의 정의에 의해 0.999... 는 1 과 같다. 즉, 0.999... 는 우리가 1 이라고 표현하는 수를 표현하는 또 하나의 방법이다.


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