수학사랑

톨레미의 정리란, 사각형 ABCD가 원에 내접할 때, 가 성립하며, 또 역으로 볼록사각형 ABCD에서 위의 관계가 성립하면, 이 사각형은 원에 내접한다고 하는 정리이다. 

다시 말하면 ac + bd = ef가 성립함을 말하는 것이다.

이 정리는 제2코사인 법칙, 삼각함수의 덧셈정리 등을 유도하는데 사용하기도 하며 또한 내접사각형이 직사각형인 경우 피타고라스 정리가 되는 것을 알 수 있다.

오른쪽 애플릿의 점을 움직여 정리가 성립함을 확인해 보자.

[증명1]

회전이동한후 닮은 삼각형의 성질을 이용하여 증명한다.

위의 그림에서 보는 바와 같이 α로 표시된 두개의 각은 원주각의 성질에 의해 같다. 마찬가지로 두개의 β도 같다.

위의 그림은 삼각형 ABC가 점 A를 중심으로 α만큼 회전이동한 그림을 나타낸 것이다.

따라서 길이가 f 인 대각선 AC가 길이가 c인 현 AD와 같은 직선위에 놓이게 된다.

이때, 회전된 현 AB는 대각선 BD와 점 P에서 만나게 되고, 점P에 의하여 대각선 CA는 길이가 x, y 인 두 선분으로 나뉘게 된다.

삼각형 ADP와 삼각형 ACB는 대응하는 각의 크기가 같으므로 닮은 도형이다.

따라서 y:c=a:f

즉, ac=yf…㉠

위의 그림에서 γ 라고 표시된 두 각은 호 AD에 대한 원주각이므로 그 크기는 서로 같다. 또 삼각형 ACD를 점 A를 중심으로 대각선 AC가 현 AB와 같은 직선에 있도록 회전이동한 것이다. 따라서, 삼각형 ABP와 삼각형 ACD는 대응하는 각의 크기가 같으므로 서로 닮은도형이다.

따라서 x:d=b:f

즉, bd = xf …㉡

㉠과 ㉡에서 ac + bd= yf + xf = ( x + y ) f = ef

[증명2]